- •Исследование операций
- •Учебный план
- •Тематические планы лекций Лекция № 1. Исследование операций как методологическая основа теории принятия управленческих решений. Основные термины, определения, формализация
- •Лекция № 2.Моделирование целевых установок развития сложных системах
- •Лекция № 3. Примеры моделей операций
- •Лекция № 4. Элементы выпуклого анализа
- •Лекция № 5. Основы выпуклого программирования. Теория Куна-Таккера
- •Лекция № 6. Линейное программирование
- •Лекция № 7. Игровые методы обоснования решений
- •Лекция № 8. Моделирование операций на основе марковских случайных процессов
- •Лекция № 9. Элементы теории массового обслуживания
- •Список источников и литературы
- •2. Дополнительная литература
- •Лекция № 1. Исследование операций как методологическая основа теории принятия управленческих решений. Основные термины, определения, формализация
- •1.1Цели и задачи курса «Исследование операций»
- •1.2Системный подход в решении проблем управления
- •1.2.1Формальное определение системы и примеры систем
- •1.2.2Основные понятия целевого подхода в управлении
- •1.2.3Концептуальная постановка проблемы
- •1.2.4Понятие структуризации проблемы
- •1.2.5Основные понятия объектно-субъектного подхода в управлении
- •1.2.6Формализация системы и фаз процесса принятия решений
- •1.2.6.1Выявление проблемы — анализ ее существования
- •1.2.6.2Постановка проблемы
- •1.2.6.3Поиск решения проблемы
- •1.2.6.4Принятие решения
- •1.2.6.5Исполнение решения
- •1.2.6.6Оценка выполненного решения
- •1.3Формализм теории исследования операций (модель операции)
- •1.4Оценка эффективности стратегии
- •1.4.1Оценка неопределенности стратегии
- •1.4.2Функциональная оптимизация стратегий
- •1.4.3Смешанные стратегии
- •Лекция № 2.Моделирование целевых установок в сложных системах (2 ч.)
- •2.1Классификация целей систем
- •2.2Графы целей и способы их построения
- •2.3Методы свертки показателей эффективности
- •2.3.1.1Экономический способ формирования критериев
- •2.3.1.2Критические состояния объекта
- •2.3.1.3Последовательное достижение частных целей
- •2.3.1.4Логическое объединение критериев
- •2.3.1.5Обобщенное логическое объединение
- •2.3.1.6Случайное и неопределенное объединение
- •2.3.1.7Единицы измерения целей
- •2.3.1.8Полнота системы элементарных действий над критериями
- •2.4Экспертная оценка эффективности
- •2.5Критерии эффективности организационного управления
- •Лекция № 3. Примеры моделей операций (2 ч.)
- •3.1Модель анализа технологических процессов
- •3.2Аппроксимация функций полиномами
- •3.3Модель численного поиска экстремума
- •3.4Модель действий нападения против защиты в военных операциях
- •3.5Модель производства продукции в условиях конкуренции
- •3.6Модель оценки надежности неремонтируемых систем
- •3.6.1Параллельное дублирование системы в целом
- •3.6.2«Холодное резервирование» системы в целом
- •3.6.3Параллельное дублирование агрегатов системы
- •3.6.4«Холодное резервирование» агрегатов
- •3.7Модель для выбора дальности стрельбы в дуэльной ситуации
- •3.8Линейная обработка измерений (фильтрация) координат движущихся объектов
- •3.8.1Случайное блуждание координат движущегося объекта
- •3.8.2Зависимое блуждание координат движущегося объекта
- •3.8.3Ограниченное блуждание координат движущегося объекта
- •Лекция № 4.Элементы выпуклого анализа
- •4.1Вспомним основные понятия высшей алгебры
- •4.2Определение и примеры выпуклых множеств.
- •-Мерный куб с центром в точке и ребром :
- •-Мерный шар радиуса с центром в точке :
- •4.3Проекция точки на множество. Свойства.
- •4.4Теоремы отделимости выпуклых множеств.
- •4.5Крайние точки выпуклых множеств.
- •4.6Альтернативы Фредгольма.
- •4.7Выпуклые функции и их свойства.
- •4.8Связь между выпуклыми функциями и выпуклыми множествами
- •4.9Свойства выпуклых функций.
- •4.9.1Дифференцируемость скалярной выпуклой функции.
- •4.9.2Дифференцируемость по направлению.
- •4.9.3Непрерывность.
- •4.10Выпуклые дифференцируемые функции и их экстремальные свойства
- •4.11Критерии оптимальности
- •Лекция № 5.Основы выпуклого программирования. Теория Куна-Таккера
- •5.1Основная задача выпуклого программирования
- •5.2Формальная постановка задачи выпуклого программирования
- •5.3 Классические способы отыскания решения экстремальных задач
- •5.4Условие регулярности
- •5.5Функция Лагранжа. Условия оптимальности
- •5.6Теорема (Куна-Таккера).
- •5.7Дифференциальные условия Куна-Таккера
- •5.8Общая схема решения задачи выпуклого программирования
- •Лекция № 6.Линейное программирование
- •6.1Примеры моделей операций, приводящих к злп
- •6.1.1Задача о диете
- •6.1.2Общая задача планирования выпуска продукции (распределительная задача)
- •6.1.2.1Общая задача планирования выпуска продукции
- •6.1.2.2Выпуск комплектной продукции
- •6.1.3Транспортная задача
- •6.1.3.1Классическая транспортная задача
- •6.1.3.2Транспортная задача с фиксированными доплатами
- •6.2Различные виды злп и их эквивалентность
- •6.2.1Стандартная задача линейного программирования
- •Лекция № 7. Игровые методы обоснования решений
- •7.1Теория игр как теория обоснования решений в условиях конфликта интересов
- •7.2Конфликт и его формальная модель
- •7.3Формализация принятия решения в условиях конфликта
- •7.4Оптимальность в конфликтной ситуации
4.2Определение и примеры выпуклых множеств.
Множество называют выпуклым, если вместе с любыми двумя точками , ему принадлежит и соединяющий их отрезок [ , ].
Выпуклость множества означает, что для всех , и любого действительного числа вектор =( +(1— ) ) .
Уважаемые коллеги! Прошу Вас доказать выпуклость самостоятельно!
-Мерный куб с центром в точке и ребром :
= .
-Мерный шар радиуса с центром в точке :
Гиперплоскость в , т.е. множество
,
где — ненулевой вектор, называемый нормалью к гиперплоскости, .
В пространстве гиперплоскость определяет два полупространства:
и .
Множество решений системы линейных равенств и неравенств:
,
где , — произвольные матрицы, выпукло и замкнуто.
Пусть вектор . Множество
называется стандартным симплексом и является выпуклым множеством.
Если выпукло, то выпуклы внутренность и замыкание .
Если , а точка , то полуинтервал [ , ) .
На каждом луче, исходящем из произвольной внутренней точки выпуклого множества , имеется самое большее одна граничная точка.
Привести пример множества , которое вместе с любыми своими точками , содержит точку =( + )/2 и в то же время не является выпуклым (необходима замкнутость).
Сумма конечного числа выпуклых множеств выпукла.
Пересечение конечного числа выпуклых множеств выпукло.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО следует непосредственно из определения выпуклого множества.
4.3Проекция точки на множество. Свойства.
Для заданной точки определим число и множество
, = .
Число называют расстоянием точки до множества .
Проекцией точки на выпуклое множество называют такую точку , что:
= ,
Для любого выпуклого замкнутого множества и любой точки существует единственная точка , являющаяся проекцией на .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
1. Существование проекции следует из замкнутости множества . Действительно, если , то очевидно, что = и . Пусть точка . По определению числа как точной нижней грани существует такая последовательность { } точек , что , т.е. последовательность { } ограничена. В силу ограниченности последовательности { } по тероеме Вейерштрасса найдется ее сходящаяся подпоследовательность { }, т.е. . Поскольку замкнуто, то .
2. Для доказательства единственности предположим, что существуют такие точки , , , что и
Поскольку множество выпукло, то точка =( + )/2 принадлежит ; но из неравенства треугольника 3.3 (теоремы Пифагора) следует:
,
что противоречит либо определению , либо условию .
Для того чтобы точка была проекцией точки на выпуклое замкнутое множество , необходимо и достаточно, чтобы для всех выполнялось неравенство:
.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 1) Пусть = и . Рассмотрим . Ввиду выпуклости для любого . Так как
.
По определению для любого
.
Следовательно, для любого
,
откуда следует (81).
2) Пусть теперь справедливо (81). Тогда для любого будет
.
т.е. = .
Для любого
.
и
.
Доказать самостоятельно. Дать геометрическую интерпретацию соотношений (86) и (87).