3.3. Метод узловых напряжений.

Для того чтобs изучить метод узловых напряжений, преобразуем входящие в цепь, изображенную на рис.3.1. последовательные схемы генераторов в параллельные, полагая, что сопротивления Z₁=1/Y₁ и Z₅=1/Y₅ являются внутренними сопротивлениями генераторов. Все входящие в схему сопротивления выразим через соответствующие проводимости. В результате получим схему (рис.3.2), в которой ток первого генератора и ток второго генератора

Ознакомимся с некоторыми новыми понятиями, которые используются в рассматриваемом методе.

Узловыми напряжениями называются напряжения рассматриваемого узла относительно опорного. В схеме, показанной на рис. 3.5, в качестве опорного выбран узел 0; в ней имеется два узловых напряжения: и

Для ветвей, подключенных к опорному узлу, напряжения ветвей совпадают с узловыми:

;

Напряжения ветвей, включенных между независимыми узлами (ветвь Y₃) выражаются через узловые напряжения. Для контура 1 – 2 – 0 уравнение второго закона Кирхгофа выглядит так:

или

Зная и и узловые напряжения, можно непосредственно найти все токи. Действительно,

Таким образом, вместо того чтобы непосредственно рассчитывать пять токов во всех ветвях, можно ограничиться нахождением всего лишь двух узловых напряжений: и . После этого напряжения во всех ветвях и токи в них рассчитываются без труда.

Вторым понятием, вводимым в методе узловых напряжений, является так называемая узловая проводимость, равная сумме проводимостей элементов, включенных между независимыми узлами. В рассматриваемой схеме имеются две узловые проводимости:

и

Наконец, общими проводимостями называют проводимости элементов, включенных между независимыми узлами. В схеме на рис.3.5 имеется только одна общая проводимость

Теперь уравнение первого закона Кирхгофа для узла 1 можно записать так:

или, принимая во внимание введенные величины узловых и общих проводимостей, получим:

(3.4)

Уравнение для узла 2 можно выразить следующим образом:

или

(3.5)

Из системы двух независимых, так называемых независимых уравнений (3.4) и (3.5), находятся искомые узловые напряжения и .

Теперь можно сформулировать общее правило составления узловых уравнений. При условии, что направления токов, сходящихся в узле, совпадают с направлениями узловых напряжений, в левой части уравнения для каждого независимого узла суммируются: а) произведение узлового напряжения на узловую проводимость – с положительным знаком и б) произведение узловых напряжений смежных узлов на соответствующие проводимости; они берутся со знаком минус, если узловые напряжения данного и смежных узлов направлены одинаково по отношению к опорному узлу, и с положительным знаком, если по отношению к опорному узлу они направлены противоположно. В правой части уравнения записывается алгебраическая сумма токов генератора, подключенных к данному независимому узлу; если узловое напряжение направлено к опорному узлу, ток источника, направленный к независимому узлу берется со знаком плюс; если же узловое напряжение направлено от опорного узла, то положительным считается ток источника, отходящий от независимого узла.

При практическом использовании метода узловых напряжений целесообразно все узловые напряжения направлять к опорному узлу; тогда все слагаемые в п. «б» должны браться со знаком минус и ток источника, направленный к независимому узлу, - со знаком плюс.

Из всего сказанного видно, что методологическая основа обоих методов (контурных токов и узловых напряжений) идентична. Место контурных токов одного из них занимают узловые напряжения другого; вместо сопротивлений в одном методе проводимости в другом. Наконец, сумма эдс, включенных в независимый контур, заменяется суммой токов источников, подключенных к независимому узлу.

Целесообразность применения того или иного метода определяется количеством уравнений, которые надо решать.

Если цепь содержит большое число независимых контуров при небольшом количестве узлов, т.е. если n>m или, иначе, p>2(q-1),очевидно, разумнее производить расчет по методу узловых напряжений.

Если же схема содержит относительно небольшое число независимых контуров, т.е. n<m или, иначе, p<2(q-1), целесообразнее применять метод контурных токов.