Глава 3. Анализ линейных систем при гармоническом воздействии.

3.1 Расчет цепей на основе законов Кирхгофа.

Задача анализа цепи заключается в определении токов (или напряжений) всех ее ветвей.

Число ветвей, составляющих исследуемую цепь, обозначим p, а количество узлов в схеме q.

Прежде чем приступить к решению поставленной задачи введем некоторые понятия.

Одним из узлов схемы назовем опорным. Опорный узел может быть выбран произвольно. Остальные узлы будем называть независимыми. Число независимых узлов m=q-1.

Если цепь имеет больше одного узла, то элемент или группа последовательно соединенных элементов, которые включены между двумя узлами, называют ветвью цепи.

Контуром называют совокупность элементов, образующих замкнутый путь тока.

Графы электрических цепей: на графе любой элемент-двухполюсник отображают отрезком линии, который называется ребром. Зажимы элемента обозначают точками, которые называются вершинами графа. Граф представляет собой совокупность вершин, которые соединены между собой ребрами.. Главным деревом (дерево графа) –называется часть его, включающая все узлы, но не содержащая ни одного контура. Главная ветвь графа – соединительный элемент, добавление которого к дереву образует замкнутый контур.

Контуры, содержащие по одной главной ветви, называются независимыми. Таким образом число независимых контуров n равно количеству главных ветвей n_гл.

Каждому дереву графа соответствует своя система главных ветвей, а значит, и свое сочетание независимых контуров.

Теперь вернемся к анализу цепей. Для нахождения p неизвестных токов необходимо располагать системой из p линейно-независимых уравнений. Для их составления применим законы Кирхгофа.

Уравнения, выражающие первый закон Кирхгофа, могут быть написаны для каждого из q узлов. Составив их для всех независимых узлов, мы убедимся, что в уравнение опорного узла будут входить токи, уже участвующие в других уравнения, и поэтому уравнение, написанное для опорного узла, не будет независимым.

Таким образом, независимые узлы – это те, для которых могут быть составлены независимые уравнения на основе первого закона Кирхгофа.

Уравнения, выражающие второй закон Кирхгофа, можно написать для любого из контуров схемы. Для независимости уравнений достаточно, чтобы каждый последующий контур отличался от предыдущих контуров хотя бы одной новой ветвью. Этому требованию удовлетворяют контуры, образуемые добавлением главных ветвей к дереву.

Из сказанного следует, что независимые контуры – это те, для которых могут быть составлены независимые уравнения второго закона Кирхгофа. Итак, применение законов Кирхгофа к m независимым контурам дает всего m+n=p уравнений для p неизвестных.

В качестве опорного узла целесообразно выбирать узел, в котором сходится наибольшее число ветвей.

При выборе независимых контуров можно исходить из любого дерева. Дополняя его главными ветвями, находим независимые контуры, соответствующие данному дереву.

В результате решения системы уравнений, составленных по законам Кирхгофа, получаем значения искомых комплексных амплитуд токов ветвей. Так , комплексная амплитуда тока k ветви

В частном случае постоянного тока (ω=0) токи выражаются вещественными числами. Если в результате расчета какой-либо ток получился отрицательным, то направление его должно быть взято обратным первоначально выбранному току.

В случае же переменного тока знаки вещественной и мнимой части свидетельствуют лишь о том, в каком квадранте комплексной плоскости лежит изображающая данное число точка, т.е. говорят о начальной фазе данного тока.