3.2. Метод контурных токов.

При большом числе ветвей p расчет цепи, основанный на непосредственном применении законов Кирхгофа, оказывается чрезмерно громоздким. Его можно существенно упростить, применив один из двух методов - контурных токов или узловых напряжений, - являющихся модификациями рассмотренного выше метода.

Первый из них основан на введении некоторых новых понятий. Каждому из n независимых контуров приписывается так называемый контурный ток, который мыслится обтекающим контур в произвольно выбранном направлении. По своей величине контурный ток целесообразно считать равным току главной ветви данного контура. Что касается токов остальных ветвей контура, то они в соответствии с первым законом Кирхгофа могут быть всегда выражены через контурные токи. Обратимся к схеме, представленной на рис. 3.1а, и выберем для расчета граф, изображенный на рис. З,1,б.

Примем направления контурных токов во всех контурах по часовой стрелке.

Контурный ток . Аналогично ;

Применив первый закон Кирхгофа к узлам А и В, найдем

Таким образом, вместо непосредственного расчета пяти токов ветвей можно поставить задачу нахождения трех контурных токов. После этого без труда определяются все токи ветвей.

Вторым новым понятием является собственное сопротивление независимого контура, равное сумме сопротивлений, входящих в контур.

Собственные сопротивления независимых контуров схемы, изображенной на рис. 3.1а,

; ;

Всего в схеме имеется n собственных сопротивлений.

Наконец, общими сопротивлениями называют сопротивления элементов, входящих в состав каждого из двух смежных контуров.

В рассматриваемой цепи имеем два общих сопротивления:

и

Теперь уравнение второго закона Кирхгофа для контура 11 можно записать так:

или, приняв во внимание введенные понятия о собственных и общих сопротивлениях,

(3.1)

Уравнение для контура 22 запишется как

или

(3.2)

Наконец, аналогичные уравнения можно составить для контура 33:

или

(3.3)

Итак, составлены три независимых уравнения (3.1), (3.2) и (3.3), называемые контурными уравнениями, из которых находятся искомые контурные токи: ,

На основе изложенного можно сформулировать общее правило составления контурных уравнений. При обходе всех контуров в направлении, совпадающими с направлением контурного тока, в левой части уравнения для данного контура суммируются: падение напряжения, создаваемое контурным током на собственном сопротивлении – с положительным знаком и падения напряжения, создаваемые смежными контурными токами на общих сопротивлениях; они берутся со знаком минус, если контурные токи в этих сопротивлениях направлены навстречу и с положительным знаком, если они направлены одинаково. В правой части уравнения записывается алгебраическая сумма действующих в контуре эдс, причем эдс, направления которых совпадают с направлением обхода, считаются положительными.