1. Основные определения четких множеств

U  универсальное множество (в обычном смысле)  совокупность эле­ментов u, объединенных общими свойствам, , u  U, u является эле­ментом U [20].

Пример П1. Пусть дано множество из 10 цифр:

, множество четных цифр .

Способы записи множества:

а) справа от вертикальной черты записываются все свойства множества:

;

б) иллюстрация множества с помощью диаграммы Венна  Эйлера (рис. П1); в) определение множества заданием характеристической функции (рис. П2).

Характеристическая функция , определяющая подмножество A в универсальном множестве U, представляет собой отображение, для кото­рого U  область определения, а двузначное множество из 0 и 1 есть область значений :

,

Число элементов множества называется мощностью множества, или кардинальным числом # = card.

Пример П2. Для примера П.1: # . Если , то  синглтон (singleton).

Объединение всех подмножеств универсального множества U называ­ется степенным множеством и обозначается 2^U. (В универсальном множестве U можно рассматривать различные подмноже­ства, например, A с некоторыми свойствами, В с другими свойствами и т. д.).

Пример П3: тогда , где 0  пустое множество, характеристическая функция которого равна Характеристическая функция универсального множе­ства . Кардинальное число степенного множества

.

Понятие "расстояние" в математике. Если определяется расстояние d между двумя элементами u, v, то должны выполняться условия

1. d(u, v)  неотрицательность; 2) d(u, v) = d(v, u)  симметричность;

2. d(u, w) d(u, v)  d(v, w)  транзитивность, где   оператор , связанный с понятием "расстояние"; 4) d(u, u) = 0.

раcстояние Хемминга, или линейное рас­стояние [9];  евклидово, или квадратичное расстояние [9].

2. Прямое (декартово) произведение

Прямое (декартово) произведение множество, состоящее из упо­рядоченных пар элементов (u, v), .

Соответственно,

множество всех упорядоченных

n-к с элементами

, т. е. всех

возможных объе­динений по n

элементов из n различных

множеств с учетом порядка

их следования (рис. П3).

Пример П4: {a, b}  {1, 2, 3} ={(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)}, (не произведение в обычном смысле, а "сборка" участников).

3. Основные понятия четкой логики

Под высказыванием понимают предложение, относительно которого можно сказать, истинно оно или ложно. "Истина"  и(1), "ложь"  л(0), зна­чения истинности:

Отдельные высказывания  буквы А, В, С, … высказывательные пере­менные (логические переменные, пропозициональные буквы).

Символы:  ,  пропозициональные связки.

Логические операции. Отрицание высказывания:А ("не А").

Таблица П1

Значения истинности А иА приведены в таб­лице истинности (табл. П1).	А	и (1)	л(0)
	А	л(0)	и (1)

Конъюнкция высказываний: ("и"). Вы­сказывание истинно тогда и только тогда, когда истинны высказыва­ния А и В, называемые конъ­юнктивными членами конъюнкции А и В.

Дизъюнкция высказываний: ("или"). Высказыва­ние имеет значение "ложь" тогда и только тогда, когда ложны выска­зывания А и В.

Импликация высказываний А и В: ("если А…, то В"). Вы­сказывание ложно тогда и только тогда, когда А, назы­ваемое посыл­кой (условием, допущением) импликации , истинно, а В, называемое заключением (выводом, следствием) им­пликации, ложно.

Замечание. В отличие от используемого в обычной жизни понятия следо­вания, А и В не обязательно должны быть содержательно связанными, и по­этому в логике высказывание "Если земля стоит на трех китах, то Петербург основан Петром I" считается истинным.

Эквивалентность высказываний А и В: ("А тогда и только тогда, когда В") имеет значение "истина" только при совпа­дающих значениях ис­тинности А и В.

Логические формулы (пропозициональные формы): а) высказывательные переменные  логические формулы; б) если А и В  логические формулы, то (А), (А В), (А В), (АВ), (АВ)  логические формулы.

Операции импликации соответствует логическая формула ((А) В),

т. е. (АВ)  ((А)  В). Значения истинности для вводимых операций приведены в таблице ис­тинности (табл. П2).

Таблица П2

А	В	А	А В	А В	АВ	((А) В)	(АВ)  ((А)  В)	А  (АВ)
0	0	1	0	0	1	1	1	0
0	1	1	0	1	1	1	1	0
1	0	0	0	1	0	0	1	0
1	1	0	1	1	1	1	1	1

Правило логического вывода "modus ponens" (правило отделения):

если (АВ) истинно и А истинно, то В  истинно. Одно суждение (В) является необходимым следствием двух других (АВ, A).

Записывают: АВ

A или В = А  (АВ).

-------------

B