1.5. Модель енергетичних зон

Потенційна енергія і імпульс електрона в твердому тілі визначаються ефектами квантових взаємодій. Модель енергетичних зон вводиться для того, щоб зв'язати між собою енергію і імпульс носіїв заряду в кристалі.

Модель енергетичних зон розглядатиметься в двох аспектах. Перш за все, дана модель дозволяє якісно описати розподіл енергії електронів в твердих тілах і, крім того, знайти аналітичний вираз для енергії електронів в просторово не обмеженому твердому тілі шляхом рішення рівняння Шредінгера.

1. Проста модель енергетичних зон

У деякому відношенні зонна модель веде свій початок від атомної моделі Бору, яка дозволяє пояснювати електричні властивості рідин і газів. На зміну моделі Бору прийшла квантово-механічна модель, згідно якої електрон, що входить до складу атома якої-небудь речовини, розглядається як деяка заряджена частинка, властивості якої можна визначити, вирішивши так зване рівняння Шредінгера.

Щоб пояснити процес утворення енергетичних зон, розглянемо спочатку деякий вільний атом вуглецю. У такому атомі є дві електронні оболонки. Оболонка До містить дві під оболонки з двома і шістьма рівнями відповідно. Перша з них заповнена, а на другому з шести можливих рівнів електронами зайнято тільки два. Тому чотири рівні залишаються вільними. Якщо атоми в речовині зближуються і вже не можуть розглядатися як вільні, то відбувається трансформація під оболонок. При відстані між атомами хг ці під оболонки перетворюються на дві зони, при х3— дві зони зливаються в одну, як у графіту. Відстані х4 відповідають три зони, що характерне для особливої кристалічної форми вуглецю — алмазу: валентна зона, утворена чотирма валентними електронами (два електрони на рівні 1р і двох електрона на рівні 2р), зона провідності з чотирма вільними вакансіями і, нарешті, заборонена зона, де електронів бути не може. Наявність забороненої зони між двома дозволеними зонами (зоною провідності і валентною зоною) характерний для всіх напівпровідників. Цей факт має велике значення для фізичної електроніки і для теорії напівпровідникових пристроїв.

Відповідно до викладеного зонна модель кристалічної решітки вуглецю (алмазу) може бути представлена в спрощеній формі, зображеній на рис.1.3.

Рис.1.3. Проста модель енергетичних зон, використовувана для опису властивостей алмазу, кремнію і інших напівпровідників.

При цьому вважається, що кожен атом, що входить до складу кристала, має чотири електрони у валентній зоні. Окрім цього, кожному атому відповідає чотири вакантні рівні, що знаходяться в зоні провідності.

Ширину забороненої зони Ез виражають в електрон-вольтах (эВ).

При нульовій абсолютній температурі зона провідності порожня, а валентна зона заповнена цілком, так що електропровідність відсутня. Єдина можливість створення електропровідності полягає в тому, щоб повідомити електрону деяку енергію, велику або рівну Ез, за рахунок чого електрон потрапить в зону провідності. Цього можна досягти, наприклад, шляхом нагріву або опромінювання. При кімнатній температурі (300 ДО) енергія Ез складає 1,12 эВ для кремнію, 0,72 эВ для германію і 7 эВ для вуглецю. (алмазу).

Ввівши поняття дозволених зон і забороненої енергетичної зони, можна провести ряд послідовних міркувань, які підтверджують їх існування.

• Електрон як матеріальна частинка проявляє хвильові властивості.

• Вирішивши хвильове рівняння, що описує поведінку електрона, набуваємо числового значення параметрів, званих квантовими числами.

• Впорядковане розташування атомів в кристалічній решітці обумовлює те, що електрон може знаходитися на одному з дозволених дискретних рівнів; додаткове обмеження накладає принцип заборони Паулі.

Залежно від того, які розташовані енергетичні зони, тверді тіла прийнято ділити на діелектрики, напівпровідники і метали (рис.1.4.).

а) б) в)

Рис.1.4. Прості моделі енергетичних зон різних матеріалів: а—діелектрик (SiO₂); б—пів провідник (Si), в — метал (А1)

Якщо ширина забороненої зони достатньо велика, то жоден з електронів, що знаходяться у валентній зоні, не може за рахунок теплового збудження одержати порцію енергії, достатню для переходу в зону провідності. Такі речовини мають високий електричний опір і називають діелектриками. Речовина називається напівпровідником, якщо параметр Ез достатньо малий. При цьому є кінцева вірогідність того, що електрон, що раніше займає деякий рівень у верхній частині валентної зони, придбає додаткову енергію, достатню для того, щоб стрибком подолати інтервал Ез і перейти в нижню частину зони провідності, яка до цього була порожня.

У металах із-за слабкого зв'язку валентних електронів з своїми атомами валентна зона і зона провідності перекриваються. Накладення зовнішнього електричного поля приводить до виникнення електропровідності навіть при нульовій абсолютній температурі. Переміщаючись уздовж кристалічної решітки, електрони постійно знаходяться в зоні провідності.

У багатьох випадках виявляється корисною спрощена модель енергетичних зон без вказівки числових значень енергії. Проте слід мати на увазі, що ця модель є не більше ніж умовним графічним зображенням, яке полегшує вивчення процесу руху носіїв в напівпровідниках. Енергетичні зони слід трактувати не як якісь «канали», в яких відбувається рух електронів і дірок, а лише як сукупність рівнів енергії; при одних її значеннях електропровідність можлива, при інших - неможлива.

Слід відмітити, що на діаграмі енергетичних зон вісь відліку направлена від низу до верху. Оскільки заряд електрона негативний, то значення, що відкладаються по цій осі, чисельно рівні електричному потенціалу.