Тема 9. Цифрова мікро схемотехніка Операції з|із| двійковими числами

У ЕОМ застосовують позиційні системи прочитування з|із| недесятковою підставою|заснуванням|: 2, 8, 16

Найбільше поширення набула двійкова система прочитування. Її найпростіше реалізовувати двійкових позиційних пристроїв|устроїв|. Вона дає можливість|спроможність| спростити виконання арифметичних дій.

Двійкова система вимагає 2 цифри 0 і 1, підставою|заснуванням| цієї системи – 2. Воно записується|занотовує| в наступній|слідуючій| формі:

10₂ = 1 · 21 + 0 · 20

Правила побудови|шикування| чисел в двійковій системі ті ж, що і в десятковій: як тільки|як тільки| рахунок дійшов до старшої цифри (у десятковій – 9, а в двійковій – 1) необхідно записати 0 і перенести 1 в старший розряд. Число > 9 в десятковій системі і > 1 в двійковій записати тільки|лише| двозначним| числом.

Перетворення двійкових чисел в десяткові:

Приклад 1. 10102 = 1 · 23 + 0 · 22 + 1 · 21 + 0 · 20 = 8 + 0 + 2 + 0 = 1010

Приклад 2. 101.0112 = 1 · 22 + 0 · 21 + 1 · 20 + 0 · 2-1 + 1 · 2-2 + 1 · 2-3 =

= 4 + 1 + 0 + 0,25 + 0,125 = 5,375₁₀.

Перетворення десяткових чисел в двійкові:

Спільне правило переказу. Для переказу цілого числа N, представлену в системі прочитування з підставою q в систему з підставою р необхідне дане число послідовно ділити на підставу системи р до тих пір, поки останнє приватне не буде < р.

Число N в системі р представиться у вигляді впорядкованої послідовності залишків ділення, причому старшу цифру числа N дає останнє приватне.

Приклад 3. Перетворити десяткове число 10₁₀ в двійкове:

крок	Ділення	Результат	Залишок (двійкове число)
1	10: 2	5	0 (М.З.Р)
2	5 : 2	2	1
3	2 : 2	1	0
4	1 : 2	0	1 (С.З.Р)

Отримуємо: 10₁₀ = 1010₂

Приклад 4. Перетворити десятковий дріб 0,375₁₀ в двійкове число:

Множення	Двійкове число
2 · 0,375 = 0,75	0 (оскільки < 1, то С.З.Р. = 0)
2 · 0, 75 = 1,5	1 (оскільки > 1, то С.З.Р. = 1)
2 · 0,5 = 1	1
2 · 0 = 0	0 (М.З.Р)

Отримуємо: 0,375₁₀ = 0.0110₂

Перевірка: 0.0110₂ = 0 · 20 + 0 · 2^-1 + 1 · 2^-2 + 1 · 2^-3 = 0,25 + 0,125 = 0,375₁₀

Приклад 5. Перетворити десяткове число 12,125₁₀ в двійкове:

Ціле число			Десятковий дріб
Щаг	Ділення	Залишок|остача| (двійкове число)	Крок	Множення	Двійкове число
1	12 : 2 = 6	0 (М.З.Р)	5	0.125 · 2 = 0,25	0 (С.З.Р)
2	6 : 2 = 3	0	6	0.25 · 2 = 0,5	0
3	3 : 2 = 1	1	7	0.5 · 2 = 1	1
4	1 : 2 = 0	1 (С.З.Р)	8	0 · 2 = 0	0 (М.З.Р)

Отримуємо: 12,125₁₀ = 1100.001₂

Перевірка: 1100.001₂= 1 · 23 + 0 · 22 + 1 · 2-3 = 8 +4 + 0,125 = 12,125₁₀

2⁰ = 1 2^-1 = 0,5

2¹ = 2 2^-2 = 0,25

2² = 4 2^-3 = 0,125

2³ = 8 2^-4 = 0,0625

2⁴ = 16 2^-5 = 0,03125

2⁵ = 32 2^-6 = 0,015625

2⁶ = 64 2^-7 = 0,0078125

2⁷ = 128

2⁸ = 256

2⁹ = 512

2¹⁰= 1024

Складання двійкових чисел

Спільні правила: 0+0 = 0; 0+1 = 1; 1+1 = 10

Приклад 6. Скласти два числа 4510+1110=5610

45₁₀ = 101101₂ ; 11₁₀ = 001011₂; 56₁₀ = 111000₂

+	101101 001011 111000	(25 + 23 + 22 + 20 = 32 + 8 + 4 +1 = 4510 )
		(23 + 21 + 20 = 8 + 2 +1 = 1110 )
		(25 + 24 + 23 = 32 + 16 + 8 = 5410 )

_{Приклад 7. Скласти два числа 2,310+2,410=4,710}

			Множення			Двоїч.число	Множення	Двоїч.число
210 = 102			0,3 · 2 = 0,6			0 (С.З.Р)	0,4 · 2 = 0,8	0 (С.З.Р)
			0,6 · 2 = 1,2			1	0,8 · 2 = 1,6	1
			0,2 · 2 = 0,4			0	0,6 · 2 = 1,2	1
			0,4 · 2 = 0,8			0	0,2 · 2 = 0,4	0
			0,8 · 2 = 1,6			1	0,4 · 2 = 0,8	0
			0,6 · 2 = 1,2			1(М.З.Р)	0,8 · 2 = 1,6	1(М.З.Р)
	10.010011 10.011001 100.101100
+

+	10.010 10.011 100.101

100.1011001₂ = 2² + 2^-1 + 2^-3 + 2^-4 = 4 + 0,5 + 0,125 + 0,0625 = 4,6875₁₀

100.101₂ = 2² + 2^-1 + 2^-3 = 4 + 0,5 + 0,125 = 4,625₁₀

Таблиця відповідності різних систем прочитування

Десятіч-на	Двоїч-на	Восьмі-річна	16-рич-на	Десяті-чна	Двоїч-на	Восьмі-річна	16-рич- на
0	0000	0	0	16	10000	20	10
1	0001	1	1	17	10001	21	11
2	0010	2	2	18	10010	22	12
3	0011	3	3	19	10011	23	13
4	0100	4	4	20	10100	24	14
5	0101	5	5	21	10101	25	15
6	0110	6	6	22	10110	26	16
7	0111	7	7	23	10111	27	17
8	1000	10	8	24	11000	30	18
9	1001	11	9	25	11001	31	19
10	1010	12	А	26	11010	32	1А
11	1011	13	В	27	11011	33	1В
12	1100	14	C	28	11100	34	1С
13	1101	15	D	29	11101	35	1D
14	1110	16	E	30	11110	36	1E
15	1111	17	F	31	11111	37	1F