3. Распределение 60 банков по величине процентной ставки X (%) и размеру выданных кредитов y (млн. Руб.) представлено в таблице.

У X	2-5	5-8	8-11	11-14	14-17	Итого
11-13				1	6	7
13-15			4	7	3	14
15-17		1	11	5	1	18
17-19	4	5	2			11
19-21	8	2				10
Итого	12	8	17	13	10	60

Необходимо:

1. Вычислить групповые средние и , и построить эмпирические линии регрессии.

2. Предполагая, что между переменными X и Yсуществует ли­нейная корреляционная зависимость:

а) найти уравнения прямых регрессии, построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии и дать эконо­мическую интерпретацию полученных уравнений;

б) вычислить коэффициент корреляции; на уровне значимости

α = 0,05 оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными Х и Y;

в) используя соответствующее уравнение регрессии, определить средний размер выданного банком кредита, процентная ставка кото­рого равна 16%.

Решение:

1. Вычислим групповые средние и , построим эмпирические линии регрессии.

Для каждого значения , т.е. для каждой строки корреляционной таблицы вычислим групповые средние

, где - частоты пар ( ) и .

Вычисленные групповые средние поместим в последнем столбце корреляционной таблицы и изобразим графически в виде ломаной, называемой эмпирической линией регрессии Y по X.

Аналогично для каждого значения по формуле

, где - частоты пар ( ) и .

Вычисленные групповые средние поместим в последней строке корреляционной таблицы и изобразим графически в виде ломаной, называемой эмпирической линией регрессии X по Y.

y x		2-5	5-8	8-11	11-14	14-17	Итого:	Группо вая сред няя,
	Сере дины интер валов	3,5	6,5	9,5	12,5	15,5
11-13	12				1	6	7	18,36	84	1008
13-15	14			4	7	3	14	22,04	196	2744
15-17	16		1	11	5	1	18	25,50	288	4608
17-19	18	4	5	2			11	30,50	198	3564
19-21	20	8	2				10	32,72	200	4000
Итого:		12	8	17	13	10	60		966	15924
Групповая средняя,		50,14	59,67	72,11	85,57	96,11
		42	52	162	163	155	573
		147	338	1534,3	2031,3	2402,5	6453

Где, , .

Эмпирическая линия регрессии Y по X:

Эмпирическая линия регрессии X по Y:

2) Предполагая, что между переменными Х и У существует линейная корреляционная зависимость: а) найти уравнения прямых регрессии, построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии и дать экономическую интерпретацию полученных уравнений;

Вычислим необходимые суммы:

;

;

;

;

;

Итак, уравнение регрессии Y по X: .

;

.

Итак, уравнение регрессии X по Y: .

;

.

Из первого уравнения регрессии Y по X следует, что при увеличении процентной ставки на 1 % размер выданных кредитов уменьшается на 1,422 млн. руб.

Из второго уравнения регрессии X по Y следует, что при увеличении выданных кредитов на 1 млн. руб. уменьшается процентная ставка на 0,539%.

Построим графики уравнений регрессии на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии:

б) вычислить коэффициент корреляции, на уровне = 0,05 оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными Х и У.

Вычислим коэффициент корреляции по формуле:

.

Связь между переменными Х и У обратная, т.к. и достаточно тесная ( достаточно близок к 1).

На уровне значимости = 0,05 оценить значимость коэффициента корреляции.

Нулевая гипотеза ; конкурирующая гипотеза .

Наблюдаемое значение критерия:

.

По уровню значимости = 0,05 и числу степеней свободы находим по таблице .

Поскольку - нулевую гипотезу отвергаем. Другими словами, выборочный коэффициент корреляции значимо отличается от нуля.

в) используя соответствующее уравнение регрессии, определить средний размер выданного банком кредита, процентная ставка кото­рого равна 16%.

Подставим в уравнение регрессии ;

млн. руб. – средний размер выданного банком кредита.