Контрольная
работа по теории вероятности №3 Вариант
6. Выполнено авторским коллективом ООО
«Взфэи-архив.рф» © 2010. Avzfei.ru.
Авторские права на данную работу
зарегистрированы Российским
авторским обществом КОПИРУС совместно
с Федеральным государственным
учреждением Российская
государственная библиотека - РГБ.
© ООО «ВЗФЭИ-АРХИВ.РФ», 2010
Электронная версия данного текстовой работы предназначена исключительно для ознакомления. Незаконное распространение, публикация (в том числе и на интернет-ресурсах), передача третьим лицам текста данной работы, либо фрагментов текста данной работы без прямой цитаты и согласования с правообладателем преследуется по закону, а лица виновные в данных правонарушениях несут ответственность, предусмотренную главой 4 Гражданского Кодекса РФ.
Если Вы обнаружили данную работу на каком-либо сайте, кроме avzfei.ru, взфэи.su, взфэи-архив.рф – немедленно сообщите об этом на адрес электронной почты: vzfeiextra@ya.ru – Вознаграждение сообщившему гарантируется!
Контрольная работа № 3
Вариант 6
Задача № 1
Вероятности того, что каждый из трёх кассиров занят обслуживанием покупателей, равны соответственно 0,7; 0,8; 0,9. Найти вероятность того, что в данный момент заняты обслуживанием покупателей: а) все кассиры;
б) только один кассир;
в) хотя бы один кассир.
Решение.
В данной задаче независимо производятся три эксперимента, состоящие в работе каждого из трёх стрелков.
Обозначим:
– событие, состоящее в том, что 1-ый
кассир занят обслуживанием покупателей;
– событие, состоящее в том, что 2-ой
кассир занят обслуживанием покупателей;
– событие, состоящее в том, что 3-ий
кассир занят обслуживанием покупателей;
– событие, состоящее в том, что в
данный момент все кассиры заняты
обслуживанием покупателей;
– событие, состоящее в том, что в
данный момент только один кассир занят
обслуживанием покупателей;
– событие, состоящее в том, что в
данный момент хотя бы один кассир занят
обслуживанием покупателей.
По условию:
;
;
.
Событие
,
противоположное событию
,
состоит в том, что 1-ый кассир не занят
обслуживанием покупателей;
.
Событие
,
противоположное событию
,
состоит в том, что 2-ой кассир не занят
обслуживанием покупателей;
.
Событие
,
противоположное событию
,
состоит в том, что 3-ий кассир не занят
обслуживанием покупателей;
.
Найдём
,
и
.
а) Событие
возможно лишь в случае совместного
появления событий
,
и
:
.
Учитывая независимость событий , и , по теореме умножения вероятностей получаем:
.
б) Событие
есть сумма несовместных событий
,
и
:
,
где – событие, состоящее в том, что в данный момент 1-ый кассир занят, а 2-ой и 3-ий кассир не заняты обслуживанием покупателей;
– событие, состоящее в том, что в данный момент 2-ой кассир занят, а 1-ый и 3-ий не заняты обслуживанием покупателей;
– событие, состоящее в том, что в данный момент 3-ий кассир занят, а 1-ый и 2-ой не заняты обслуживанием покупателей.
Учитывая независимость событий , и , по теореме умножения вероятностей получаем:
;
;
.
Учитывая несовместность событий , и , по теореме сложения вероятностей несовместных событий получаем:
.
в) Событие
,
противоположное событию
,
состоит в том, что в данный момент ни
один кассир не занят обслуживанием
покупателей:
.
Учитывая независимость событий
,
и
,
по теореме умножения вероятностей
получаем:
.
Следовательно,
.
Ответ: а) 0,504; б) 0,092; в) 0,994.
Задача № 2
На заочном отделении вуза 80 % всех студентов работают по специальности. Какова вероятность того, что из пяти отобранных случайным образом студентов по специальности работают:
а) два студента;
б) хотя бы один студент?
Решение.
Здесь мы имеем дело с независимыми
испытаниями, каждое из которых заключается
в исследовании занятости студента
заочного отделения вуза. Число испытаний
в нашем случае
.
Так как число испытаний невелико, то
для вычисления искомой вероятности
воспользуемся формулой Бернулли
,
где
– число сочетаний из
элементов по
;
– вероятность появления события в
каждом из испытаний, то есть вероятность
того, что студент работает по специальности
(по условию
);
– вероятность непоявления события в
каждом из испытаний,
.
а) Вероятность того, что из пяти отобранных случайным образом студентов по специальности работают два студента, то есть вероятность появления события ровно 2 раза в 5 испытаниях:
.
б) Вероятность того, что из пяти отобранных случайным образом студентов по специальности работает хотя бы один студент, то есть вероятность появления события хотя бы 1 раз в 5 испытаниях равна
.
Ответ:
а)
;
б)
.
Задача № 3
На почту поступило 8000 писем. Вероятность того, что на случайно взятом конверте отсутствует почтовый индекс, равна 0,0005. Найти вероятность того, что почтовый индекс отсутствует:
а) на трёх конвертах;
б) не менее чем на трёх конвертах.
Решение.
Здесь мы имеем дело с независимыми
испытаниями, каждое из которых заключается
в проверке конверта на предмет наличия
почтового индекса. Число испытаний в
нашем случае
.
Пусть
– событие, которое заключается в том,
что на конверте отсутствует почтовый
индекс.
а) Вычислить искомую вероятность
появления события ровно 3 раза в 8000
испытаний по формуле Бернулли
затруднительно из-за громоздкости
вычислений. Искомую вероятность
можно вычислить, используя асимптотическую
(приближённую) формулу Пуассона.
Итак, воспользуемся теоремой Пуассона:
если вероятность
наступления события
в каждом испытании постоянна и мала
,
число испытаний
– велико
и число
– незначительно
,
то вероятность
того, что событие
появится
раз в
независимых испытаниях вычисляется
по приближённой формуле
,
где
– функция Пуассона.
В нашем случае вероятность появления
события
постоянна и мала, число независимых
испытаний
велико, число
.
Значит вероятность появления события
ровно
раза в 8000 испытаний:
.
По таблице значений функции Пуассона
находим:
.
Следовательно, вероятность того, что
почтовый индекс отсутствует на трёх
конвертах
.
б) Для вычисления вероятности того, что почтовый индекс отсутствует не менее чем на трёх конвертах, то есть для вычисления вероятности появления события не менее 3 раз в 8000 испытаний снова воспользуемся теоремой Пуассона:
.
По таблице значений функции Пуассона находим:
;
;
.
Следовательно, вероятность того, что
почтовый индекс отсутствует не менее
чем на трёх конвертах
.
Ответ:
а)
;
б)
.