Контрольная работа по теории вероятности №3 Вариант 3. Выполнено авторским коллективом ООО «Взфэи-архив.рф» © 2010. Avzfei.ru. Авторские права на данную работу зарегистрированы Российским авторским обществом КОПИРУС совместно с Федеральным государственным учреждением Российская государственная библиотека - РГБ.
© ООО «ВЗФЭИ-АРХИВ.РФ», 2010
Электронная версия данного текстовой работы предназначена исключительно для ознакомления. Незаконное распространение, публикация (в том числе и на интернет-ресурсах), передача третьим лицам текста данной работы, либо фрагментов текста данной работы без прямой цитаты и согласования с правообладателем преследуется по закону, а лица виновные в данных правонарушениях несут ответственность, предусмотренную главой 4 Гражданского Кодекса РФ.
Если Вы обнаружили данную работу на каком-либо сайте, кроме avzfei.ru, взфэи.su, взфэи-архив.рф – немедленно сообщите об этом на адрес электронной почты: vzfeiextra@ya.ru – Вознаграждение сообщившему гарантируется!
Контрольная работа № 3
Вариант 5
Задача № 1
Ребёнок играет
кубиками, на которых написаны буквы:
,
,
,
,
,
,
.
Найти вероятность того, что произвольно
поставленные в ряд пять букв образуют
слово «ШАРИК».
Решение.
Испытание (опыт) заключается в выборе по одному пяти кубиков с буквами в случайном порядке без возврата.
Элементарным событием (исходом испытания) является полученная последовательность из пяти букв. Элементарные события являются размещениями из 7 букв ( , , , , , , ) по 5 букв.
Число всех возможных исходов испытания:
.
Пусть событие заключается в том, что буквы выбраны в порядке заданного слова «ШАРИК».
Число исходов, благоприятствующих появлению события , соответствует числу всех возможных использований букв Ш, А, Р, И и К, входящих в слово «ШАРИК»:
.
Воспользовавшись классическим определением вероятности, получаем:
.
Ответ:
.
Задача № 2
При тестировании качества радиодеталей установлено, что на каждые 10000 радиодеталей в среднем приходится четыре бракованных. Определить вероятность того, что при проверке 5000 радиодеталей будет обнаружено:
а) не менее трёх бракованных деталей;
б) не менее одной и не более трёх бракованных деталей.
Решение.
Здесь мы имеем дело с независимыми
испытаниями, каждое из которых заключается
в тестировании качества радиодетали.
Число испытаний в нашем случае
.
В нашем случае событие состоит в том, что деталь является бракованной.
а) Вероятность обнаружения при проверке
5000 радиодеталей не менее трёх бракованных
деталей равна
.
Вычислить искомые вероятности
,
,
появления события в 5000 испытаниях
по формуле Бернулли
затруднительно из-за громоздкости
вычислений. Искомую искомые вероятности
,
,
можно вычислить, используя асимптотические
(приближённые) формулы Пуассона и
Муавра – Лапласа.
Воспользуемся теоремой Пуассона:
если вероятность
наступления события
в каждом испытании постоянна и мала
,
число испытаний
– велико
и число
– незначительно
,
то вероятность
того, что событие
появится
раз в
независимых испытаниях вычисляется
по приближённой формуле
,
где
– функция Пуассона.
В нашем случае вероятность появления
события
постоянна и мала, число независимых
испытаний
велико, число
.
Значит вероятность появления события не менее 3 раз в 5000 испытаниях:
.
По таблице значений функции Пуассона находим:
,
,
.
Следовательно, вероятность обнаружения при проверке 5000 радиодеталей не менее трёх бракованных деталей равна
.
б) Вероятность обнаружения при проверке
5000 радиодеталей не менее одной и не
более трёх бракованных деталей равна
.
Снова воспользуемся теоремой Пуассона:
если вероятность наступления события в каждом испытании постоянна и мала , число испытаний – велико и число – незначительно , то вероятность того, что событие появится раз в независимых испытаниях вычисляется по приближённой формуле , где – функция Пуассона.
В нашем случае вероятность появления события постоянна и мала, число независимых испытаний велико, число .
Значит вероятность появления события не менее 1 и не более 3 раз в 5000 испытаниях:
.
По таблице значений функции Пуассона находим:
,
,
.
Следовательно, вероятность обнаружения при проверке 5000 радиодеталей не менее одной и не более трёх бракованных деталей равна
.
Ответ:
а)
;
б)
.
Задача № 3
Вероятность гибели саженца составляет 0,4. Составить закон распределения числа прижившихся саженцев из имеющихся четырёх. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и функцию распределения этой случайной величины.
Решение.
Дискретная случайная величина Х
– число прижившихся саженцев – имеет
следующие возможные значения:
,
,
,
,
.
Найдём вероятности
,
,
,
,
этих возможных значений.
Х |
|
|
|
|
|
Р |
|
|
|
|
|
величины Х, соответственно, будет иметь вид:
Пусть – событие, которое заключается в том, что саженец погиб.
Так как число испытаний невелико, то
для вычисления искомых вероятностей
воспользуемся формулой Бернулли
,
где
– число сочетаний из
элементов по
;
– вероятность появления события
в каждом из испытаний, по условию
;
– вероятность непоявления события
в каждом из испытаний,
.
Число прижившихся саженцев
возможно только в случае появления
события
ровно 4 раза в
испытаниях. Поэтому
.
Число прижившихся саженцев возможно только в случае появления события ровно 3 раза в испытаниях. Поэтому
.
Число прижившихся саженцев возможно только в случае появления события ровно 2 раза в испытаниях. Поэтому
.
Число прижившихся саженцев возможно только в случае появления события ровно 1 раз в испытаниях. Поэтому
.
Число прижившихся саженцев возможно только в случае появления события ровно 0 раз в испытаниях. Поэтому
.
Сумма вероятностей
.
Таким образом, искомый закон распределения дискретной случайной величины Х
Х |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
Р |
|
|
|
|
|
Вычислим числовые характеристики случайной величины Х (параметры распределения):
Математическое ожидание дискретной случайной величины Х:
.
Дисперсия дискретной случайной величины
Х:
,
где
.
,
значит
.
Среднее квадратическое отклонение
.
Функция распределения вероятностей
(интегральная функция распределения)
случайной величины
задаётся формулой
.
При построении функции будем получать её аналитическое выражение на каждом промежутке разбиения числовой прямой точками, соответствующими значениям заданной случайной величины, используя теорему сложения вероятностей несовместных событий:
для
,
так как в данном случае мы имеем дело
с вероятностью невозможного события
(в частности для
);
для
(в частности для
);
для
(в частности
для
);
для
(в частности для
);
для
(в частности для
);
для
.
Обобщая полученные данные, можно
записать:
Х |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
Р |
|
|
|
|
|
;
;
;