Контрольная работа № 4

1. В результате выборочного обследования российских автомо­билей, обслуживающихся в автосервисе по гарантии, по схеме соб­ственно-случайной бесповторной выборки из 280 автомобилей были отобраны 60. Полученные данные о пробеге автомобилей с момента покупки до первого гарантийного ремонта представлены в таблице.

Пробег, тыс. км.	Менее 1	1 – 2	2 – 3	3 – 4	4 - 5	5 - 6	Более 6	Итого
Число автомобилей	3	5	9	16	13	8	6	60

Найти:

а) вероятность того, что средний пробег всех автомобилей отличается от среднего пробега автомобилей в выборке не более чем на 400 км (по абсолютной величине);

б) границы, в которых с вероятностью 0,95 заключена доля автомобилей, пробег которых составляет менее 3 тыс. км;

в) объем бесповторной выборки, при котором те же границы для доли (см. п. б), можно гарантировать с вероятностью 0,9876.

Решение:

Пробег, тыс. км.	Менее 1	1 – 2	2 – 3	3 – 4	4 - 5	5 - 6	Более 6	Итого
Середина интервала,	0,5	1,5	2,5	3,5	4,5	5,5	6,5
Число автомобилей,	3	5	9	16	13	8	6	60
	1,5	7,5	22,5	56	58,5	44	39	229
	33,007	26,842	15,610	1,608	6,064	22,660	43,191	148,983

Среднее значение вычислим по формуле:

,

где - середины интервалов;

- соответствующие им частоты;

.

.

Дисперсию вычислим по формуле:

.

- средняя квадратическая ошибка выборки.

;

а) , где .

тыс. км.

.

- вероятность того, что средний пробег всех автомобилей отличается от среднего пробега автомобилей в выборке не более чем на 400 км (по абсолютной величине).

б) Доля автомобилей, пробег которых составляет менее 3 тыс. км:

или 28,3%.

Определяем дисперсию доли

.

Тогда средняя ошибка доли будет

, или 5,15%.

Зная среднюю ошибку доли, определяем предельную ошибку доли. При вероятности 0,95 коэффициент доверия составляет t =1,96.

, или 10,1%.

Границы, в которых с вероятностью 0,95 заключена доля автомобилей, пробег которых составляет менее 3 тыс. км:

,

0,283 – 0,101 0,283+0,101,

18,2% 38,4%.

в) Найдем объем бесповторной выборки, при котором те же границы для доли (см. п. б), можно гарантировать с вероятностью 0,9876.

Зная среднюю ошибку доли, определяем предельную ошибку доли. При вероятности 0,9876 коэффициент доверия составляет t =2,5.

.

.

.

- объем выборки, при которой те же границы для доли можно гарантировать с вероятностью 0,9876.

2. По данным задачи 1, используя - критерий Пирсона, на уровне значимости = 0,05 проверить гипотезу о том, что случай­ная величина X - средний пробег автомобиля до гарантийного ре­монта - распределена по нормальному закону. Построить на одном чертеже гистограмму эмпирического распределения и соответству­ющую нормальную кривую.