Задача № 4
У торгового агента имеется пять адресов потенциальных покупателей, к которым он обращается с предложением приобрести реализуемый его фирмой товар. Вероятность согласия потенциальных покупателей оценивается соответственно как 0,5; 0,4; 0,4; 0,3; 0,25. Агент обращается к ним в указанном порядке до тех пор, пока кто-нибудь не согласится приобрести товар.
Составить закон распределения случайной величины – числа покупателей, к которым придётся обратиться торговому агенту. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
Решение.
Дискретная случайная величина – число покупателей, к которым придётся обратиться торговому агенту – имеет следующие возможные значения: , , , , , (если ни один из указанных пяти потенциальных покупателей так и не согласится купить товар).
Найдём вероятности , , , , , этих возможных значений.
Х |
|
|
|
|
|
|
Р |
|
|
|
|
|
|
будет иметь вид:
Пусть – событие, которое заключается в том, что -ый потенциальный покупатель согласен купить товар.
По условию ; ; ; ; .
Событие , противоположное событию , состоит в том, что -ый потенциальный покупатель не согласен купить товар.
; ;
; ;
.
Число покупателей, к которым придётся обратиться торговому агенту, только в случае появления события . Поэтому, .
Число покупателей, к которым придётся обратиться торговому агенту, только в случае совместного появления событий и . Поэтому, учитывая независимость событий и , по теореме умножения вероятностей получаем:
.
Число покупателей, к которым придётся обратиться торговому агенту, только в случае совместного появления событий , и . Поэтому, учитывая независимость событий , и , по теореме умножения вероятностей получаем:
.
Число покупателей, к которым придётся обратиться торговому агенту, только в случае совместного появления событий , , и . Поэтому, учитывая независимость событий , , и , по теореме умножения вероятностей получаем:
.
Число покупателей, к которым придётся обратиться торговому агенту, только в случае совместного появления событий , , , и . Поэтому, учитывая независимость событий , , , и , по теореме умножения вероятностей получаем:
.
Число покупателей, к которым придётся обратиться торговому агенту, только в случае совместного появления событий , , , и . Поэтому, учитывая независимость событий , , , и , по теореме умножения вероятностей получаем:
.
Сумма вероятностей
.
Таким образом, искомый закон распределения дискретной случайной величины
Х |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
Р |
0,5 |
0,2 |
0,12 |
0,054 |
0,0315 |
0,0945 |
Найдём математическое ожидание и дисперсию случайной величины .
Математическое ожидание дискретной случайной величины :
.
Дисперсия дискретной случайной величины :
, где .
, значит
.
Х |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
Р |
0,5 |
0,2 |
0,12 |
0,054 |
0,0315 |
0,0945 |
; .