Задача № 3
Человек, проходящий мимо киоска, покупает газету с вероятностью 0,2. Найти вероятность того, что из 400 человек, прошедших мимо киоска в течение часа:
а) купят газету 90 человек;
б) не купят газету от 300 до 340 человек (включительно).
Решение.
Здесь мы имеем дело с независимыми испытаниями, каждое из которых заключается в прохождении мимо киоска человека. Число испытаний в нашем случае .
а) Вычислить искомую вероятность появления события ровно 90 раз в 400 испытаниях по формуле Бернулли затруднительно из-за громоздкости вычислений. Искомую вероятность можно вычислить, используя асимптотическую (приближённую) формулу Муавра – Лапласа.
Воспользуемся локальной теоремой Муавра – Лапласа:
если вероятность наступления события в каждом из испытаний постоянна и отлична от 0 и 1, а число независимых испытаний достаточно велико, то вероятность вычисляется по приближённой формуле , где
– вероятность наступления события в каждом из испытаний,
– вероятность ненаступления события в каждом из испытаний,
– функция Гаусса.
Пусть событие состоит в том, что человек, проходящий мимо киоска, покупает газету; вероятность наступления события в каждом из испытаний ; вероятность ненаступления события в каждом из испытаний ; число испытаний .
Значит вероятность того, что из 400 человек, прошедших мимо киоска в течение часа, купят газету 90 человек:
.
По таблице значений функции Гаусса находим: .
Следовательно, .
б) Воспользуемся интегральной теоремой Муавра – Лапласа:
вероятность того, что событие появится в независимых испытаниях от до раз вычисляется по формуле , где
– вероятность наступления события в каждом из испытаний,
– вероятность ненаступления события в каждом из испытаний,
– функция Лапласа.
Пусть событие состоит в том, что человек, проходящий мимо киоска, не покупает газету; вероятность наступления события в каждом из испытаний ; вероятность ненаступления события в каждом из испытаний ; число испытаний ; , .
Значит вероятность того, что из 400 человек, прошедших мимо киоска в течение часа, не купят газету от 300 до 340 человек (включительно):
.
По таблице значений функции Лапласа находим: .
Следовательно, .
Ответ: а) ; б) .
Задача № 4
Пульт охраны связан с тремя охраняемыми объектами. Вероятность поступления сигнала с этих объектов составляет 0,2; 0,3 и 0,6 соответственно. Составить закон распределения случайной величины – числа объектов, с которых поступит сигнал. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
Решение.
Дискретная случайная величина – число объектов, с которых поступит сигнал, – имеет следующие возможные значения: , , , .
Найдём вероятности , , , этих возможных значений.
Х |
|
|
|
|
Р |
|
|
|
|
величины , соответственно, будет иметь вид:
Обозначим:
– событие, которое заключается в том, что с 1-ого объекта поступил сигнал;
– событие, которое заключается в том, что со 2-ого объекта поступил сигнал;
– событие, которое заключается в том, что с 3-его объекта поступил сигнал.
По условию: ; ; .
Событие , противоположное событию , состоит в том, что с 1-ого объекта не поступил сигнал; .
Событие , противоположное событию , состоит в том, что со 2-ого объекта не поступил сигнал; .
Событие , противоположное событию , состоит в том, что с 3-его объекта не поступил сигнал; .
Число объектов, с которых поступит сигнал, только в случае совместного появления событий , и . Поэтому, учитывая независимость событий , и , по теореме умножения вероятностей получаем:
.
Число объектов, с которых поступит сигнал, в случаях совместного появления либо событий , и , либо событий , и , либо событий , и . Поэтому, учитывая несовместность событий , и , по теореме сложения вероятностей получаем:
.
(здесь мы также применили теорему умножения вероятностей, учитывая независимость событий , и ).
Число объектов, с которых поступит сигнал, в случае совместного появления либо событий , и , либо событий , и , либо событий , и . Поэтому, учитывая несовместность событий , и , по теореме сложения вероятностей получаем:
.
(здесь мы также применили теорему умножения вероятностей, учитывая независимость событий , и ).
Число объектов, с которых поступит сигнал, только в случае совместного появления событий , и . Поэтому, учитывая независимость событий , и , по теореме умножения вероятностей получаем:
.
Сумма вероятностей .
Таким образом, искомый закон распределения дискретной случайной величины
|
0 |
1 |
2 |
3 |
|
0,224 |
0,488 |
0,252 |
0,036 |
Вычислим числовые характеристики случайной величины (параметры распределения):
Математическое ожидание дискретной случайной величины :
.
Дисперсия дискретной случайной величины :
, где .
, значит
.
|
0 |
1 |
2 |
3 |
|
0,224 |
0,488 |
0,252 |
0,036 |