3. Системы счисления

3.1. Система счисления и ее виды

Умение считать (счисление) очень часто рассматривают как основное арифметическое действие, как начало всех действий, которые можно производить над числами. Это большое заблуждение, так как свойства чисел существуют независимо от всякой системы счисления.

Счисление, или счет, есть чисто условный знак, позволяющий называть числа при помощи нескольких немногих слов в разговорной речи или писать их при помощи немногих знаков, цифр в письме. Система счисления - совокупность пpиемов и пpавил для записи чисел цифpовыми знаками. Способов записи чисел цифpовыми знаками существует бесчисленное множество. Любая пpедназначенная для пpактического пpименения система счисления должна обеспечивать:

возможность пpедставления любого числа в pассматpиваемом диапазоне величин;

единственность пpедставления ( каждой комбинации символов должна соответствовать одна и только одна величина );

пpостоту опеpиpования числами.

Системы счисления бывают позиционные и непозиционные. Общепринятая десятичная система счисления (арабская) является позиционной, так как значение любой цифры в этой системе определяется не только самой цифрой, но и позицией - местом, которое эта цифра занимает. Например, в числе 111 первая справа (разряд единиц) цифра 1 обозначает один, вторая цифра 1 (разряд десятков) - один десяток, третья (разряд сотен) - одну сотню.

В противоположность позиционной системе счисления - в римской системе (которую можно назвать непозиционной) значение цифры (знака) не зависит от занимаемого в числе места. Например, число LXVI состоит из четырех знаков, где L означает 50, X - 10, V - 5, I - единицу. Чтобы найти значение этого числа в десятичной системе, достаточно значения входящих в него цифр сложить: 50+10+5+1, т.е. 66. (За исключением чисел IV=5-1=4; IX=10-1=9; XL=50-10=40; XC=100-10=90; CD=500-100=400; CM=1000-100=900.)

Заметим, что число знаков, используемых для представления чисел в римской системе счисления, в общем случае должно быть неограниченным. Всегда можно придумать такое большое число, что уже введенных знаков для его изображения не будет хватать.

В позиционных системах счисления для записи любого числа может быть использовано только строго определенное число введенных цифр. В десятичной системе счисления таких цифр десять: 0,1,2,...,9 (oни составляют базис системы). В десятичной позиционной системе счисления в каждой единице следующего разряда числа содержится 10 единиц предыдущего. Это отношение значений единиц соседних разрядов называется основанием позиционной системы счисления.

Cледовательно, основание десятичной системы счисления есть десять. В десятичной позиционной системе счисления нуль и девять целых натуральных чисел обозначаются цифрами 0,1,2,...,9. Число большей величины, например "триста девяносто пять", представляется как

300+90+5=310² +910 ¹ +510 ⁰

и в десятичной системе счисления записывается сокращенно 395.

Любое число N (например, четырехзначное) в десятичной системе счисления изображается в виде

N=a10⁴ +b10² +c10¹+d 10⁰

где a,b,c,d есть цифры из набора 0,1,2,...,9. Число N сокращенно обозначается строкой abcd. Обратим внимание, что коэффициенты d,c,b,a есть остатки при последовательном делении числа N на оснoвание системы 10.

"...Принцип позиционной записи числа принадлежит к главным достижениям человеческой мысли. Без него невозможны арифметические вычисления и вряд ли могла существовать, а тем более возникнуть современная техника " ( А.Л.Брудно. Программирование в содержательных обозначениях.M., Наука, 1968).