Тема 4.2. Прямоугольная система координат. Полярные координаты.
Система координат — комплекс определений, реализующий метод координат, то есть способ определять положение точки или тела с помощью чисел или других символов. Совокупность чисел, определяющих положение конкретной точки, называется координатами этой точки.
В математике координаты — совокупность чисел, сопоставленных точкам многообразия в некоторой карте определённого атласа.
В элементарной геометрии координаты — величины, определяющие положение точки на плоскости и в пространстве. На плоскости положение точки чаще всего определяется расстояниями от двух прямых (координатных осей), пересекающихся в одной точке (начале координат) под прямым углом; одна из координат называется ординатой, а другая — абсциссой. В пространстве по системе Декарта положение точки определяется расстояниями от трёх плоскостей координат, пересекающихся в одной точке под прямыми углами друг к другу, или сферическими координатами, где начало координат находится в центре сферы.
Наиболее важной после прямоугольной системы координат является полярная система координат. Она состоит из некоторой точки О, называемой полюсом, и исходящего из нее луча ОЕ - полярной оси. Кроме того, задается единица масштаба для измерения длин отрезков.
Пусть дана полярная система координат и пусть М -произвольная точка плоскости. Пусть ρ-расстояние точки Мот точки О; φ – угол, на который нужно повернуть полярную ось для совмещения с лучом ОМ.
Полярными
координатами точки М называются числа
ρ и φ. При этом число ρ считается первой
координатой и называется полярным
радиусом, число φ – второй координатой
и называется полярным углом.
Точка М с полярными координатами ρ и φ обозначается так: М(ρ ; φ). Полярный радиус может принимать любое неотрицательное значение : 0 ≤ ρ< + ∞. Считают, что полярный угол изменяется в пределах : 0 ≤ φ < 2π. Порой требуется рассматривать углы большие 2π или отрицательные, т.е. углы, отсчитываемые от полярной оси по часовой стрелке.
Установим связь между полярными координатами точки и ее прямоугольными координатами. При этом будем предполагать, что начало прямоугольной системы координат находится в полюсе, а положительная полуось абсцисс совпадает с полярной осью. Пусть точка М имеет прямоугольные координаты х и у и полярные координаты
ρ и φ.
Тогда х = ρ cos φ, y
= ρ sinφ.(1)
Данные формулы выражают прямоугольные координаты через полярные.
Выражение полярных координат через прямоугольные следует из формул (1):
Контрольные вопросы:
1. Дайте описание прямоугольной декартовой системы координат на плоскости, в пространстве.
2. Дайте определение координат точки в прямоугольной системе координат.
3. Дайте определение полярной системы координат.
4. Как связаны декартовы и полярные координаты точки на плоскости, если полюс совпадает с началом декартовой системы координат, а направление полярной оси – с положительным направлением оси абсцисс?