- •Введение
- •Область применения методических указаний
- •1.2. Место учебной дисциплины в структуре основной профессиональной образовательной программы:
- •1.3. Цели и задачи учебной дисциплины – требования к результатам освоения учебной дисциплины:
- •1.4. Количество часов на освоение рабочей программы учебной дисциплины:
- •2. Рабочая программа учебной дисциплины
- •2.1 Объем учебной дисциплины и виды учебной работы
- •2.2. Тематический план и содержание учебной дисциплины ен.01 Математика
- •Методические указания по каждой теме программы и вопросы для самоконтроля
- •Раздел 1.Основы математического анализа
- •Тема 1.1. Теория пределов. Непрерывность
- •Тема 1.2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- •Тема 1.3.Интегральное исчисление функции одной переменной
- •Простейшие свойства определенного интеграла
- •Раздел 2. Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •Тема 2.1. Дифференциальные уравнения 1 порядка
- •Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
- •Тема 2.2. Дифференциальные уравнения2 порядка
- •Раздел 3. Ряды
- •Тема 3.1. Разложение функции в ряд
- •Раздел 4. Элементы аналитической геометрии
- •Тема 4.1. Прямая на плоскости. Кривые второго порядка
- •Тема 4.2. Прямоугольная система координат. Полярные координаты.
- •Раздел 5. Основы теории вероятностей
- •Тема 5.1. Элементы комбинаторики
- •Тема 5.2. Случайные события. Классическое определение вероятности.
- •Раздел 6. Случайные величины
- •Тема 6.1.Дискретная случайная величина.
- •Задание для контрольной работы
- •Примеры решения типовых заданий.
- •Контрольная работа «Основы математического анализа»
- •Перечень лабораторных работ и практических заданий
- •Контроль и оценка результатов освоения учебной дисциплины
Примеры решения типовых заданий.
Задание 1-20
Пример 1.
Пример 2.
Здесь применима теорема о пределе частного. К этому же выражению при х теорема о пределе неприменима, т. к. и .
представляет собой неопределенность вида .
Разложим на множители квадратный трехчлен.
9х2+8х–1=9·(х– )·(х+1).Для этого достаточно найти корни х1 и х2 квадратного трехчлена
ах2+bх+с=а(х–х1)·(х–х2).
Под знаком предела сократим одинаковые множители и перейдем к пределу:
Пример 3. .
Обнаружив неопределенность (так это в примере и записывают), раскладываем многочлены в числителе и в знаменателе на множители.
Сократив на х–1, получили дробь , числитель которой стремится к конечному пределу, отличному от нуля ( ), а знаменатель при х1 является бесконечно малой, тогда дробь при х1 является бесконечно большой.
Пример 4. .
Решение. Здесь числитель и знаменатель не имеют конечных пределов, имеем неопределенность . Поделив одновременно числитель и знаменатель на х3, получим
, т. к. каждая из дробей является бесконечно малой и стремится к нулю.
Пример 5.
Решение.
, так как
.
Для раскрытия неопределенности следует числитель и знаменатель разделить на одну и ту же старшую степень переменной.
Пример 6.
Решение.
В этом примере нужно было избавиться от радикалов, для чего умножили и числитель и знаменатель на сумму – сопряженное числителю выражение. Применив формулу разности квадратов в числителе, мы избавились от радикалов:
.
Задание 21-40 . Найти производные функций.
Пример 1:
Решение:
+
.
При вычислении производной использовали правило и формулы дифференцирования: ; ; ; ; .
Пример 2:
Решение:
При вычислении производной использовали правила и формулы дифференцирования:
; ; ; ; .
Пример 3:
Решение: вычислим производную сложной степенной функции, применив формулу дифференцирования , получим
Пример 4:
Решение: вычислим производную сложной тригонометрической функции, применив формулу дифференцирования , получим
Задание 41-60: Исследовать функцию и построить ее график
Пример: Исследовать функцию и построить ее график:
.
Решение:
Функция определена на всей числовой оси, т. е. ее область определения .
Найдем точки пересечения с осями координат:
с осью ОХ : решим уравнение
.
с осью ОY:
Выясним, не является ли функция четной или нечет
ной:
.
Отсюда следует, что функция является нечетной.
Функция непериодическая.
Найдем промежутки монотонности и точки экстремума функции: .
Критические точки: .
|
|
-1 |
|
1 |
|
|
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
|
|
т. max 2 |
|
т. min -2 |
|
Найдем промежутки выпуклости и точки перегиба функции:
Критические точки: .
|
|
0 |
|
|
- |
0 |
+ |
|
|
точка перегиба 0 |
|
Функция непрерывна, асимптот у нее нет.
По результатам исследования построим график функции:
Задание 61-80. Найти неопределенные интегралы и вычислить определенный интеграл:
Пример 1 а) Найти неопределенный интеграл:
.
Решение: =
=
.
б) Найти неопределенный интеграл: .
Решение: =
.
в) Найти неопределенный интеграл
Решение: =
Пример 2. а)Найти неопределенный интеграл
Решение: =
б) Найти неопределенный интеграл
Решение:
=
в) Найти неопределенный интеграл
Решение: =
г) Найти неопределенный интеграл
Решение: =
= = .
Пример 3 а) Вычислить определенный интеграл методом замены переменной
Решение: =
.
б) Вычислить определенный интеграл: .
Решение:
.
Задание 81-100. Сделать чертеж и с помощью определенного интеграла вычислить:
Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
.
Решение. Площадь данной фигуры равна разности площадей криволинейных трапеций, образованных прямой и гиперболой на отрезке .
.
Пример 2. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями:
.
Решение. Используем формулу для нахождения объёма тел вращения: .
.
Таблица производных основных элементарных и сложных функций
х- независимая переменная, u=u(x)-дифференцируемая функция
1.2. 1.3. 1.4 1.5. 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12 1.13 1.14 1.15
|
2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13 2.14 2.15 |
Таблица интегралов
1. 2. 3. 6. 7.
|
4. 5. 8. 9.
|