Раздел 4. Элементы аналитической геометрии
Тема 4.1. Прямая на плоскости. Кривые второго порядка
Одним из важнейших в аналитической геометрии является вопрос об уравнении линии на плоскости.
Всякая линия есть множество точек плоскости, координаты которых должны быть связаны некоторым условием. Это условие записывается в виде уравнения.
Уравнение F(х, у)=0 называется уравнением линии, если этому уравнению удовлетворяют координаты х и у любой точки, лежащей на линии, и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на этой линии.
Уравнение
прямой, проходящей через данную точку
М0(х0,у0) перпендикулярно
данному вектору
=
(А; В): А (х – хо)
+ В (у – у0) =
0
Уравнение прямой вида: А
х + В у + С = 0 называют
общим уравнением прямой, а коэффициенты
при х и у задают нормальный вектор
.
Уравнение прямой, проходящей через
данную точку М0(х0, у0)
параллельно данному вектору
=(m;
n):
Уравнение
прямой, проходящей через две данные
точки М1(х1, у1) и М2(х2,
у2)
Уравнение прямой с угловым коэффициентом у = k x + b.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку М0(х0, у0) в заданном направлении у–у0 = k (х–х0)
Угол между двумя прямыми
Уравнение второй степени с двумя переменными определяет на плоскости кривую второго порядка и притом единственную.
Такое
уравнение имеет вид
,
где А,В,С≠0.
Окружностью называется множество всех точек плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром. Пусть центром окружности является точка О(а;в), а расстояние до любой точки М(х;у) окружности равно r.
Тогда
Эллипсом называется множество точек на плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух заданных точек (называемых фокусами) есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.
Фокусы эллипса обозначают F1 и F2., расстояние между фокусами - через 2с, сумму расстояний от любой точки эллипса до фокусов – через 2а (2а>2с).
Каноническое
уравнение эллипса имеет вид
,
где а, в,с связаны равенством
или (
)
Эксцентриситетом
эллипса называется отношение расстояния
между фокусами к длине большей оси.
Обозначается ε:
или
.
Так как по определению 2а>2с, то
эксцентриситет всегда выражается
правильной дробью, т.е. в промежутке
[0;1).
Если величина
эксцентриситета приближается к 1(
),
то эллипс сильно вытянут; если же величина
эксцентриситета ближе к 0 (
),
то эллипс имеет округлую форму. Если
,
то эллипс вырождается в окружность.
Гиперболой называется множество точек плоскости, разность расстояний каждой из которых от двух данных точек есть величина постоянная. Простейшее (каноническое) уравнение гиперболы имеет вид:
Как видно, коэффициенты при х2 и у2 имеют разные знаки.
Числа а и b (а0 и b0) называются полуосями гиперболы.
Точки А1(а,0), А2(–а,0), В1(0,b) и В2(0,–b) называют вершинами гиперболы.
Построим
прямоугольник со сторонами, проходящими
через вершины А1, А2, В1,
В2 параллельно координатным осям.
Диагонали этого прямоугольника называют
асимптотами гиперболы. Очевидно,
уравнения асимптот
и
.
Контрольные вопросы:
1.Чем отличается уравнение прямой линии то уравнений других линий на плоскости?
2. Какие виды уравнений прямой на плоскости вы знаете? Запишите эти уравнения, укажите геометрический смысл их коэффициентов.
3. Как расположена прямая относительно системы координат, если в ее общем уравнении отсутствует: а) свободный член; б) одна из переменных; в) одна из переменных и свободный член? Обоснуйте выводы.
4. Запишите условия перпендикулярности и параллельности прямых, формулу для нахождения угла между прямыми.
5. Определение окружности, эллипса.
6. Напишите канонические уравнения окружности, эллипса и объясните смысл величин, входящих в эти уравнения.
7. Что характеризует эксцентриситет эллипса?
8. Написать уравнения директрис эллипса, объяснить смысл величин в этих уравнениях, показать расположение директрис эллипса на чертеже.
9. Дать определения гиперболы, параболы.
10. Напишите канонические уравнения гиперболы и параболы, объясните смысл величин, входящих в эти уравнения.
11. Напишите уравнения директрис, асимптот гиперболы, покажите на чертеже их расположение относительно гиперболы.