Тема 2.2. Дифференциальные уравнения2 порядка
Дифференциальные уравнения второго
порядка в общем случае имеют вид:
.
Дифференциальные уравнения вида y″ = f(x) решаются двукратным интегрированием.
Полагая
y′ = z,
имеем y″ = z′
или z′ = f(x)
,
=
f(x),
dz = f(x)dx.
Интегрируя
,
получим z = F(x)
+ C1.
Возвращаясь
к функции y , имеем
,
.
-
это есть общее решение уравнения
y″ = f(x).
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Уравнения
вида
,
где p
и q–
постоянные величины, называются линейными
однородными дифференциальными уравнениями
второго порядка с постоянными
коэффициентами.
Для отыскания общего решения такого
уравнения составляется характеристическое
уравнение
,
которое решается как квадратное уравнение. При его составлении в исходном уравнении производные функции y заменяются соответствующей степенью переменной k, причем сама функция y заменяется единицей.
Общее решение исходного дифференциального
уравнения строится в зависимости от
характера корней
и
.
Возможны три случая:
и – действительные и различные, тогда
;
и – действительные и равные, тогда
и
;
3)
и
–
комплексно-сопряженные:
,
,
тогда
.
Контрольные вопросы:
Привести пример дифференциального уравнения второго порядка.
Сколько начальных условий должно быть задано при нахождении частного решения дифференциального уравнения второго порядка?
Что называется характеристическим уравнением линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами?
Запишите решения ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами для случая когда корни характеристического уравнения а) действительные и различные; б) комплексные.
Раздел 3. Ряды
Тема 3.1. Разложение функции в ряд
Степенным
рядом называется ряд вида
Теорема Тейлора. 1) Пусть функция f(x) имеет в точке х = а и некоторой ее окрестности производные порядка до (n+1) включительно.{ Т.е. и все предыдущие до порядка n функции и их производные непрерывны и дифференцируемы в этой окрестности}.
2) Пусть х- любое значение из этой окрестности, но х ¹ а.
Тогда между точками х и а найдется такая точка e, что справедлива формула:
это выражение называется формулой Тейлора, а выражение:
называется
остаточным членом в форме Лагранж
Формула Тейлора имеет огромное значение для различных математических преобразований. С ее помощью можно находить значения различных функций, интегрировать, решать дифференциальные уравнения и т.д.
При рассмотрении степенных рядов будет более подробно описаны некоторые особенности и условия разложения функции по формуле Тейлора.
Формулой Маклорена называется формула Тейлора при а = 0:
Мы получили так называемую формулу Маклорена с остаточным членом в форме Лагранжа.
Следует отметить, что при разложении функции в ряд применение формулы Маклорена предпочтительнее, чем применение непосредственно формулы Тейлора, т.к. вычисление значений производных в нуле проще, чем в какой- либо другой точке, естественно, при условии, что эти производные существуют.
Однако, выбор числа а очень важен для практического использования. Дело в том, что при вычислении значения функции в точке, расположенной относительно близко к точке а, значение, полученное по формуле Тейлора, даже при ограничении тремя – четырьмя первыми слагаемыми, совпадает с точным значением функции практически абсолютно. При удалении же рассматриваемой точки от точки а для получения точного значения надо брать все большее количество слагаемых формулы Тейлора, что неудобно.
Т.е. чем больше по модулю значение разности (х – а) тем более точное значение функции отличается от найденного по формуле Тейлора. Ряд Маклорена можно считать частным случаем ряда Тейлора.
Контрольные вопросы:
1.Дайте определение степенного ряда.
2. Дайте формулировку теоремы Абеля.
3. Перечислите свойства степенных рядов.
4. Какой ряд называется рядом Маклорена?
5. Дайте определение ряда Тейлора.
6. Каковы необходимые и достаточные условия разложимости функции в степенной ряд?
7. Алгоритм разложения функции в ряд Маклорена, Тейлора