15.4. Передатні функції розімкнутих імпульсних систем

Розімкнута лінійна амплітудна імпульсна система (АІС) може бути схематично представлена у вигляді послідовного з'єднання імпульсного елемента (ІЕ) і безперервної частини (БЧ) (рис.15.6) Подібні системи називають імпульсними фільтрами.

g

БЧ

ІЕ

= xx* y

Рис. 15.6 Функціональна схема розімкнутої імпульсної системи

Імпульсний елемент перетворить вплив, що задає, g(t) у послідовність імпульсів x*, амплітуда яких пропорційна вхідному безперервному сигналу. Імпульсна послідовність після проходження через безперервну частину внаслідок властивостей, що згладжують, останньої перетворюється в безперервну величину на виході y(t).

При дослідженні імпульсної системи її структуру приводять до розрахункової схеми (рис. 15.7) шляхом заміни імпульсного елемента послідовним з'єднанням найпростішого імпульсного елемента (НІЕ) і безперервного фільтра, що називається формуючим елементом (ФЕ). Найпростіший імпульсний елемент перетворить безперервний сигнал у миттєві імпульси у вигляді - функцій, модульовані по площі, а формуючий елемент формує імпульс заданої форми з  - функцій, що відповідає формі вихідного імпульсу реального імпульсного елемента. Форма імпульсу реального імпульсного елемента визначає імпульсну функцію формуючого елемента wФЕ(t). Отже, передатна функція формуючого елемента може бути визначена як зображення форми імпульсу по Лапласові, тобто

W_ФЕ(s)=L[w_ФЕ(t)]. (15.52)

Формуючий елемент поєднується з безперервною частиною системи в наведену безперервну частину.

G

W_БЧ(s)

ФЕ

НІЕ

g*(n) x* y

Рис.15.7 Розрахункова функціональна схема розімкнутої імпульсної

системи

Таким чином, лінійну імпульсну систему з амплітудноімпульсною модуляцією приводять до розрахункової структури, що складає з послідовного з'єднання найпростішого імпульсного елемента й наведеної безперервної частини, передатна функція якої

W_НБЧ(s) = W_ФЕ(s)W_БЧ(s), (15.53)

де W_БЧ(s) - передатна функція безперервної частини системи.

Для одержання математичного опису розімкнутої імпульсної системи встановимо зв'язок між її вхідною й вихідною координатами.

Якщо зовнішній вплив g(t) прикладемо до входу найпростішого імпульсного елемента, то на його виході з'являється послідовність миттєвих імпульсів g*[n], модульованих зовнішнім впливом (рис. 15.8). Вихідний сигнал найпростішого імпульсного елемента

Таким чином, на виході найпростішого імпульсного елемента утворяться миттєві імпульси (δ-функції), площа кожного з яких пропорційна значенням вхідної величини в дискретні моменти часу. На рис. 15.8 δ-функції умовно зображені у вигляді стрілок, довжина яких відповідає дискретним значенням вхідної величини.

Рис. 15.8. Тимчасові діаграми зміни сигналів

імпульсної розімкнутої системи

Послідовність імпульсів g* впливає на наведену безперервну частину системи. Реакція наведеної безперервної частини на миттєвий імпульс являє собою її імпульсну функцію

W_НБЧ(t) = L^1[W_НБЧ(s)], (15.55)

де L^1 - знак зворотного перетворення Лапласа.

На підставі принципу суперпозиції можна визначити вихідну величину розімкнутої лінійної імпульсної системи

Очевидно, що безупинно мінлива вихідна величина розімкнутої імпульсної системи визначається миттєвими значеннями вхідного впливу в дискретні моменти часу t = nT.

Для дискретних моментів часу

Останнє вираження встановлює зв'язок між вхідний g і вихідний y величинами розімкнутої імпульсної системи, які представлені ґратчастими функціями.

Піддавши формулу (15.57) z-перетворенню, на підставі згортки функцій одержимо рівняння розімкнутої імпульсної системи в зображеннях:

Y(z,σ) = W(z,σ)G(z), (15.58)

де Y(n,)=Z_{y[n,]}; G(z)=Z{g[n]}; W(z,)=Z_{W_НБЧ[n,]}.

Вираження

називається дискретною передатною функцією розімкнутої імпульсної системи.

Особливістю дискретної передатної функції, як треба з (15.59), є те, що вона залежить від відносного часу σ, тобто змінюється із часом усередині кожного періоду дискретності.

Однак більшість завдань по дослідженню дискретних систем може бути вирішене при використанні передатної функції W(z).

При практичних розрахунках часто представляють z-перетворення безперервної функції W_НБЧ(t) у вигляді вираження

W(z,)=Z_{W_НБЧ(s)}. (15.60)

Таким чином, дискретна передатна функція визначається по імпульсній функції наведеної безперервної частини системи. У випадку, коли наведена безперервна частина складається з паралельно включених ланок і її передатна функція

дискретна передатна функція може бути визначена підсумовуванням передатні функції, певних для кожної ланки окремо:

.

На відміну від безперервних систем подібне правило не має місця для випадку послідовно включених ланок із загальною передатною функцією

і загальним імпульсним елементом на вході. У цьому випадку

і передатна функція W(z) повинна визначатися по результуючій імпульсній функції наведеної безперервної частини системи.

Для знаходження дискретних передатних функцій можна користуватися таблицями відповідностей між функціями часу, їхніми зображеннями по Лапласові і їхнім z-зображенням.

У більшості випадків імпульсний елемент формує прямокутні або близькі до прямокутного імпульси тривалості Tiмп = Т , тобто імпульсна функція формуючого елемента має вигляд, представлений на мал. 15.9,а.

Рис. 15.9. Вихідна величина формуючого елемента

Прямокутний імпульс одиничної висоти й тривалості γT можна представити як

У цьому випадку передатна функція формуючого елемента

Звідси

Тоді розрахункове співвідношення для дискретної передатної функції розімкнутої імпульсної системи можна одержати з (15.60)

Де

Передатну функцію W_1(z,) можна виразити через передатну функцію W₁(z,) відповідно до теореми зрушення (15.32). У результаті одержимо

При  = 0 W_1(z) = z^1 W₁(z,1).

Окремі випадки.

1. Якщо імпульсний елемент генерує короткі в порівнянні з періодом дискретності прямокутні імпульси, тобто << 1, то можна приблизно прийняти е^Тs1 Ts. Тоді одержимо

W(z,) = T Z_{W_БЧ(s)}. (15.63)

Формула (15.63) справедлива, якщо зневажити впливом кінцевої тривалості імпульсу. У більшості випадків для виконання досить, щоб постійні часу безперервної частини системи були більше тривалості імпульсу, тобто T _i>>Т (i = 1, 2, 3, ...).

2. Якщо імпульсний елемент генерує прямокутні імпульси, тривалість яких збігається з періодом дискретності, тобто γ = 1 (рис. 15.9,б). Подібним чином працюють, наприклад, системи із ЦОМ. Такий формуючий елемент називається екстраполятором нульового порядку або запам'ятовувальним елементом. Дискретна передатна функція в цьому випадку буде

Таким чином, розрахункове співвідношення для дискретної передатної функції розімкнутої цифрової системи спрощується:

Приклад.Визначити дискретну передатну функцію імпульсної системи, у якої імпульсний елемент формує прямокутні імпульси тривалості γ = 0,2 з періодом дискретності T=1 c, а безперервна частина задана передатною функцією:

при k=10 c^-1 , T₁=2 c.

Рішення. Дискретну передатну функцію розімкнутої імпульсної системи знаходимо по вираженню (1.62), представляючи дріб Wбч(s)/s у вигляді суми елементарних дробів:

За допомогою таблиці відповідностей знайдемо модифіковане z-перетворення для кожного з доданків у правій частині отриманого вираження:

де .

Окремі випадки.

1. При = 0

2. При  = 0 і  =1

3. При  = 0 і << 1, тому що T₁>>Т