2.8 Сигнали. Їх види

Найчастіше в теорії автоматичного управління використовуються наступні сигнали.

1 Одиничний стрибок (рис. 2.2). 1(t) називається також функцією Хевісайда.

,

(2.16)

Строго кажучи, функція Хевісайда фізично не реалізовується, проте, якщо, наприклад, на досліджуваному об'єкті різко відкрити вентиль, внаслідок чого витрата речовини, що подається, зміниться стрибком з до то говорять, що на вході об'єкту реалізований стрибкоподібний сигнал величиною і якщо остання різниця рівна одиниці, то на вході реалізується одиничний стрибок.

Спектральна характеристика для одиничного стрибка:

.

(2.16)

2 Одинична імпульсна функція – дельта-функція (мал. 2.3) – це функція, що задовольняє наступним умовам:

,

(2.17)

Рис. 2.2Одиничний стрибок	Рис. 2.3Одиничний імпульс

Дельта-функцію називають також функцією Дираку, вона відноситься до класу сингулярних функцій. Цю функцію, що також фізичноне реалізовується, можна представити як імпульс нескінченно малої тривалості і нескінченно великої амплітуди, тобто як межа, до якої наближується прямокутний імпульс з підставою і площею, рівній одиниці (рис. 2.4, а), якщо так, щоб площа імпульсу зберігалася рівній одиниці. Також δ-функцию можна представити як межу деякої функції (рис. 2.4, б):

.

(2.18)

Рис. 2.4Представлення дельта-функції: а – прямокутний імпульс; б – δ(у, t) -функція

До основних властивостей дельта-функції можна віднести наступну рівність:

(2.19)

δ-функція є парною функцією:

,	(2.20)
	(2.21)

тобто з безперервної функції можна "вирізувати" одну ординату.

Останнє співвідношення, використовуючи розглянуті вже властивості δ-функції, доводиться таким чином:

Спектральна характеристика дельта-функції: .

Між функцією Хевісайда і функцією Дираку існує зв'язок, що виражається співвідношенням

(2.22)

На практиці вважається, що на вхід об'єкту подана δ-функция, якщо час дії прямокутного імпульсу набагато менше часу перехідного процесу.

3 Гармонійний сигнал (рис. 2.5, а)

(2.23)

використовується при дослідженні систем автоматичного регулювання частотними методами.

Синусоїдальний гармонійний сигнал можна представити як обертання вектора довжиною навколо початку координат (рис. 2.5, б) з деякою кутовою швидкістю рад/с.

Гармонійний сигнал характеризується такими параметрами, як амплітуда – ; період – ; фаза – .

Рис. 2.5Гармонійний сигнал: а – звичайний сигнал; б – представлення гармонійного сигналу обертанням вектора; у – гармонійний сигнал із зрушенням фази

Між періодом і кутовою швидкістю справедливі співвідношення

(2.24)

Якщо коливання починаються не з нуля, то вони характеризуються фазою коливань (рис. 2.5, в), яка в часовій області характеризується відрізком але зазвичай фазу виражають в радіанах – (рис. 2.5, б). Переклад здійснюється по формулі

(2.25)

На практиці для отримання гармонійного сигналу використовується генератор синусоїдальних коливань.

4 Зсунуті елементарні функції.

До цих функцій відносяться функції Хевісайда і Дираку із запізнюванням, тобто і (рис. 2.6),

Рис. 2.6Зсунені елементарні функції

причому .

Всі властивості δ-функціїзберігаються, але записуються у вигляді:

;

;

.

5 Сигнал довільної форми – (рис. 2.10, а).

Будь-який сигнал довільноїформиможнапредставити за допомогоюδ-функції. З цією метою виділяється довільний момент часу і будується стовпчик заввишки (рис. 2.7, б)відповідний значенню сигналу у момент часу і основою .

Цей імпульс можна виразити через наближену дельта-функцію –

тобто .

Рис. 2.7Сигнал довільної форми: а – вхідний безперервний сигнал; б – імпульс; в – суперпозиція імпульсів, що визначають сигнал.

Замінюючи функцію x(t) набором імпульсів (мал. 2.7, в), можна записати: .

Якщо тепер то

(2.26)

Сигнал довільної форми можна представити і через одиничні функції, для чого вираз (2.26) слід проінтегрувати по частинах, використовуючи співвідношення внаслідок чого отримують наступне співвідношення

(2.27)