3.7 Інтеграл Дюамеля

Інтеграл Дюамеля використовується для визначення виходу об'єкту при довільному вхідному сигналі і відомих або .

Передбачається, що на вхід об'єкту, що описується ваговою функцією подається сигнал (рис. 3.12, а)докладний опис якого даний в п. 2.8.

Якщо реакцію об'єкту на позначити через (вагова функція)а реакцію на черезЌ (наближена вагова функція), то на підставі принципу суперпозиції можна записати вихідний сигнал на імпульс :

Рис. 3.12 Представлення вхідного (а) і вихідного сигналів (б)

Заміна вхідного сигналу набором імпульсів, висота яких співпадає з відповідними координатами (рис. 3.12), дозволяє записати реакцію на ступінчасту функцію на підставі принципу суперпозиції

Якщо тепер спрямувати , при цьому , , ; а , де – безперервний параметр, що показує зрушення кожного імпульсу, то остаточно отримуємо:

.

(3.13)

Останнє рівняння називається інтегралом Дюамеля (рівнянням згортки), що відображає зв'язок між входом, виходом об'єкту і його ваговою функцією.

По суті справи вагова функція є пам'яттю об'єкту, яка показує, як довго і як сильно впливає на об'єкт імпульсне збурення, подане на його вхід у момент часу . З фізичного сенсу вагової функції верхня межа інтеграції може бути замінена на оскільки неможливо представити реальну систему, в якій на вихідну координату в теперішній час впливають збурення, які з'являються в подальші моменти часу.

Якщо провести заміну у формулі (3.13) , , то можна записати симетричну формулу

(3.14)

Якщо для представлення вхідного сигналу використовувати не формулу (2.26), а (2.27), то інтеграл Дюамеля записується через перехідну функцію:

(3.15)

або

8. Перетворення Лапласа

Основним математичним апаратом, який використовується в теорії автоматичного управління, є спеціальний метод прикладного аналізу, так званий операційний метод, в основі якого лежить функціональне перетворення Лапласа.

1. Визначення перетворення Лапласа

Перетворенням Лапласа називається перетворення функції змінної у функцію іншої змінної за допомогою оператора, визначуваного співвідношенням

(3.16)

де – оригінал функції; – зображення по Лапласу функції ; – комплексна змінна .

Формула (3.16) визначає пряме перетворення Лапласа. Можливе і так зване зворотне перетворення Лапласа, що дозволяє по зображенню знайти оригінал. Воно визначається співвідношенням

(3.17)

де – абсциса збіжності функції .

Для більшості функцій, що зустрічаються на практиці, складені таблиці відповідності між оригіналами і зображеннями. Зображення деяких функцій, що найбільшчасто зустрічаються, в теорії управління приведені в табл. 3.1. Якщо ж функція відсутня в таблиці, то її зображення можна отримати безпосередньо, користуючись співвідношенням (3.16).

Приклад 3.1 Потрібно знайти перетворення Лапласа від функції .

Згідно визначенню перетворення Лапласа (3.16) маємо

Таким чином, .

Таблиця перетворення Лапласа

№	Оригінал	Зображення	№	Оригінал	Зображення
1		1	8
2	1		9
3			10
4			11
5			12
6			13
7

Широке застосування перетворення Лапласа обумовлене тим, що зображення деяких функцій виявляється простішим за їх оригінали і ряд операцій, таких як інтегрування, диференціювання над зображеннями простіше, ніж відповідні операції над оригіналами.