1. 4.2 Частотні характеристики

Важливу роль при описі лінійних систем грають частотні характеристики, що характеризують реакцію об'єкту (системи) на гармонійний сигнал.

Основною частотною характеристикою є амплітудно-фазова характеристика (АФХ), яка може бути визначена через конформне відображення.

Амплітудно-фазовою характеристикою називається конформне відображення уявної осі площини кореня характеристичного рівняння на комплексну площину амплітудно-фазової характеристики (рис. 4.4), причому сама уявна вісь відображається в годограф AФX, права ж напівплощина кореня характеристичного рівняння відображається у внутрішню область АФХ.

Рис. 4.4 До визначення АФХ

Амплітудно-фазова характеристика є комплексною функцією, тому вона може бути, як і будь-яка комплексна функція, представлена в показовій формі

(4.1)

і у алгебраїчній формі

(4.2)

Модуль у показовій формі запису АФХ називається амплітудно-частотною характеристикою (АЧХ), а фаза або аргумент називається фазочастотною характеристикою(ФЧХ).

Дійсна частина амплітудно-фазової характеристики називається дійсною частотною характеристикою (ДЧХ).

Уявна частина амплітудно-фазової характеристики називається уявною частотною характеристикою (УЧХ).

Між всіма частотними характеристиками існує зв'язок. Знаючи одні з них, можна визначити інші, тобто

	(4.3)
	(4.4)
	(4.5)
	(4.6)

2. 4.3 Зв'язок перетворень Лапласа і Фур’є

Як відомо, будь-яка лінійна стаціонарна система автоматичного управління описується звичайним диференціальним рівнянням, яке в операторній формі має вигляд

(4.7)

де – перетворення Лапласа функції .

Перетворення Фур’є функції визначається виразом причому повинні виконуватися умови, що при і існує.

Порівнюючи перетворення Лапласа і Фур’є, видно, що формально воно може бути отримане з перетворення Лапласа простою заміною на але із-за другої умови перетворення Фур’є виконується для більш обмеженого класу функцій. Замінюючи в рівнянні (4.9) на отримуємо:

звідки

(4.8)

Проводячи аналіз виразу (4.8), можна записати, що

і зробити висновок: амплітудно-частотна характеристика є парною функцією; фазо-частотна характеристика – непарною функцією; дійсна частотна характеристика – парною функцією; уявна частотна характеристика – непарною функцією (рис. 4.5 і 4.6).

Рис. 4.5 Властивість парності частотних характеристик: а – АЧХ; б – ДЧХ

Рис. 4.6 Властивість непарності частотних характеристик: а – ФЧХ; б – УЧХ

Амплітудно-фазова характеристика також може розглядатися як зображення Фур’є від вагової функції:

(4.9)

Оскільки , то з (4.9) можуть бути отримані формули для визначення дійсної і уявної характеристик:

і, отже,

	(4.10)
	(4.11)

З останніх формул виходить, що

(4.12)

А це свідчить про те, що АФХ при від’ємних частотах є дзеркальним відображенням АФХ для додатних частот щодо дійсної осі.

При практичних розрахунках зазвичай обмежуються побудовою АФХ тільки для додатних частот. Використовуючи формулу зворотного перетворення Фурье, можна по АФХ отримати вагову характеристику:

(4.13)

Приклад 4.1 Нехай задана передаточна функція об'єкту , потрібно визначити частотні характеристики.

Замінюючи на записуємо вираз для АФХ:

Оскільки даний об'єкт лінійний і стаціонарний, то, застосовуючи принцип суперпозиції, маємо:

АЧХ (рис. 4.7, а) ;

ФЧХ (рис. 4.7, б)

Годограф амплітудно-фазової характеристики зображений на рис. 4.7, в.

Дійсну і уявну частотні характеристики зазвичай отримують множенням чисельника і знаменника на вираз, спряжений із знаменником:

Рис. 4.7 Графіки частотних характеристик: а – АЧХ; б – ФЧХ; в – АФХ

звідки

– дійсно-частотна характеристика:

– уявна частотна характеристика: