Ім = U_І/Х_І : Ім = Uс/Хс

U_{І =} ІмХм; Uс = ІмХм

Так як Х_{І =} Хс; WL = І/WС а струм в контурі однаковий, то U_{І =} U_с

В зв’язку з тим, що U₁ і Uс зсунуті одна відносно другої на 180º, то сума цих напруг дорівнює нулю. На активному опорі напруга дорівнює ЕРС джерела живлення (рис.151, г).

Попередні співвідношення показують, що змінюючи елементи Хс і Хι можна змінювати і величину напруги на цих елементах. Тобто, якщо ми збільшуємо величину реактивних елементів, то збільшуємо і падіння напруги на цих же елементах. Таким чином, напруга на реактивних елементах Хс і Хι при резонансі може бути у багато разів більше ніж ЕРС джерела живлення. Це можна відмітити рівнянням

U_І//Е = І WL/ІR = WL/R = Ө; Uс/Е = І1//WС/ ІR = 1//WС/R = Ө

Де Ө - добротність контура.

При резонансі в послідовному контурі напруга на окремому з реактивних елементів більше в Ө разів, ніж ЕРС джерела живлення. Тому резонанс в послідовному контурі називають резонансом напруг. Резонанс напруг застосовують в радіоприймачах, телевізорах, в люмінесцентних світильниках та ін..

Опір контура. Опір реактивних елементів контура залежить від частоти. При резонансі напруг індуктивний і ємнісний опори рівні, а активний опір контура має мінімальне значення.

Припустимо, що частота ЕРС джерела живлення нижче частоти резонанса (ω< ωo). При зменшенні частоти опір конденсатора зростає, а опір котушки індуктивності зменшується. Отже, для частот менших резонансної частоти справедливе рівняння:

WL<І/WС

Припустимо, що частота ЕРС джерела живлення вище частоти резонанса. При збільшенні частоти зростає індуктивний опір, а ємнісний опір зменшується. На рис. 151, доказано залежність опору контура від частоти при різних при різних значеннях активного опору контура. З рисунка видно, що чим більше активний опір, тим крива опору більш полога.

На рис.152, а зображені криві 1, 2, і 3 залежності анодного струма від частоти для трьох значень опірів RI<R2<R3. Ці криві називають резонансними послідовного контура.

Частіше користуються резонансними кривими, в яких по осям координат відкладаються не абсолютні значення частоти і струма, а відносні величини: по осі абсцис – відношення частоти джерела живлення до резонансної частоти контура, а по осі ординат – відношення струма до його значення при резонансі. Рівняння резонансної кривої має вигляд

Ім/Імр = І/√І+ Ө²У²

Цю формулу називають рівнянням приведеної резонансної кривої.

Величина у = f/ f_о - f_о/ f = 2∆ f/ f_о

називається відносною розстройкою контура. Різницю між частотою джерела живлення і резонансною частотою контура ∆f=ffo називають абсолютною розстройкою контура.

На рис. 152, б показані приведені резонансні криві. Форма кривої залежить від добротності контура.

Резонансна крива показує, що підведена до контура ЕРС може скласти в ньому відносно великий струм тільки на частотах, близьких до резонансної частоти контура. Іншими словами, контур «пропускає» тільки коливання, які близькі по частоті до резонансної . Коливання, які сильно відзначаються по частоті від резонансної частоти, контур не пропускає.

Смуга пропускання. Смугою пропускання називається спектр частот, в межах якого струми в контурі відрізняються від свого резонансного значення не більше, ніж в √2 разу. Значення смуги пропускання можна знайти з рівняння

Ім/Імр= 1/ √1+Өу. прирівнявши Ім/Імр і 1/ √2, маємо 1/√2=1/√1+(ӨУ)2, звідки ӨУ=Ө*2∆f/fo=1

Смуга пропускання П=2∆f = fo/ Ө = fod

Смугу пропускання можна знайти на графіку (рис.152, б) на рівні 0,707.

§33. Змушені коливання в паралельному контурі

Паралельним коливальним контуром називається контур, в якому ємнісні і індуктивні елементи (С і L) включені паралельно джерелу живлення (рис. 153, а). Розглянемо процеси, які можуть відбуватися в такому контурі. Еквівалентний опір паралельного контура дорівнює

Ze = Z1Z2/ (Z1+Z2), де Z1 і Z2 – опори лівої і правої гілки контуру.

Згідно закону Ома Іом = Uкм/ Ze

В зв’язку з тим, що обидві гілки контуру знаходяться під однією і тією ж напругою, тому амплітудне значення струмів в кожній гілці може бути знайдене з слідуючих співвідношень: Ісм = Uкм (1/(wc)) і Іιм = Uкм/√R²+(wι)²

З цих співвідношень видно, що струми в гілках контура залежать від параметрів контуру (R,L і C), ЕРС джерела живлення і його частоти, а також внутрішнього опору джерела живлення.

Векторна діаграма паралельного контура приведена на рис. 153, б. Струм, який проходить через конденсатор випереджає по фазі напругу Uк на кут 90º, струм який протікає через індуктивність, відстає по фазі від напруги на деякий кут δ. Вектор струму в загальному колі дорівнює геометричній сумі векторів струмів Іι і Іс і дорівнює Іо. В залежності від співвідношення параметрів кола R1, R, L і С струм Іо може випереджати напругу Uкм на кут δ або відставити від неї (рис. 153, в).

Резонанс струмів. В паралельному контурі, як і в послідовному, за певними умовами може спостерігатися також явище резонанса. Умовою для цього є wо L=1/ wоС

Знайдемо співвідношення між струмами в гілках контура і загальному колі при резонансі.

Струм в загальному колі дорівнює

Іор = Ісм Uкм/Ре = Uкм/ ρ²/ R

Струм в ємнісній гілці дорівнює

Ісм= Ісм/[1/ wоС]= Uкм/Р

Струм в індуктивній гілці

Іιм= Uкм/√R²+(wι)²= Uкм/ wо L= Uкм/ Р

В зв’язку з тим, що wо L>>R, співвідношення струмів в гілках до струму в загальному колі буде дорівнювати

Іιм/ Іор = Ісм/ Іор= Uкм/ Р: Uкм/ Р²/ R = Р/ R = Ө

Таким чином, при резонансі в паралельному контурі струм в кожній з його гілок приблизно в Ө разів більше струму в колі джерела живлення. Тому резонанс в паралельному контурі буде називатися резонансом струмів (рис. 153, г).

Еквівалентний опір контура при резонансі являється чисто активним і має максимальне значення. При зміненні резонансної частоти еквівалентний опір контура перестає бути чисто активним і зменшується по свойому абсолютному значенню.

Якщо зменшити частоту ЕРС генератора, то струм в індуктивній гілці буде більше струму в ємнісній гілці (рис. 153, в). в цьому випадку загальний струм Іо відстає від загальної напруги Uм. І еквівалентний опір зменшується по абсолютній величині і контур буде мати індуктивний характер.

Якщо збільшити частоту ЕРС генератора, то струм в загальному колі буде більше струмів в розгалужених колах і буде випереджати напругу (рис. 153, б). еквівалентний опір контура зменшується і набуває ємнісного характеру. Залежність абсолютної величини еквівалентного опору паралельного контура від частоти f ЕРС генератора показано на рис. 153, д.

Резонансні криві паралельного контура. Форми резонансних кривих залежать не тільки від властивостей контура, але від співвідношення величин внутрішнього опору джерела живлення R і еквівалентного опору контура.

Припустимо, що опір контура Ze набагато більше, ніж R.

Струм в загальному колі знаходиться по формулі Іо = U/ Ze

Рис. 154 Резонансна крива для цього випадку показана на рис. 154, а.

Напруга на контурі Uк дорівнює Е і не залежить від частоти. В цьому випадку контур не володіє виборчими властивостями на попрузі.

Припустимо, що опір контуру Ze << R. Тоді струм в загальному колі Іо = Uк/ RL. Струм не залежить від частоти. Напруга на контурі змінюється пропорційно цього опору (рис. 154, б).

Якщо Ze і Rі однакові, то змінюється як Іо, так і Uк. Криві Іо = F(f) мають вигляд рис. 154, в.

На цих кривих можливо визначити смугу пропускання струму (2∆fн). Смугою пропускання струму називають спектр частот, в інтервалі якого струм в загальному колі не перевищує значеня струму при резонансі Іор більш, як в √2 разів (рис. 154, в). смугою пропускання напруги називають спектр частот, в інтервалі якого напруга на контурі менше напруги на контурі при резонансі не більш, як в √2 разів.

З рисунків 153, а, б, в бачимо, що смуга пропускання залежить від співвідношення Ze і R.

Смугу пропускання по напрузі можна визначити за формулою: 2∆fн = fо/Ө

Значення добротності потрібно брати з урахуванням внутрішнього опору генератора R.

Ө = Ө/ 1+ Rе/R

Паралельні контури застосовують в радіоелектроніці в генераторах і підсилювачах високої частоти.