- •1. Зведення лінійного диференціального рівняння -го порядку до нормальної системи диференціальних рівнянь
- •2. Система лінійних однорідних диференціальних рівнянь
- •3. Система лінійних однорідних диференціальних рівнянь першого порядку зі сталими коефіцієнтами та методи їх розв’язування.
- •4. Лінійні неоднорідні системи диференціальних рівнянь
- •5. Частинні розв’язки лінійних неоднорідних систем
СИСТЕМИ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ
Означення. Система вигляду
(1)
де – незалежна змінна, – невідомі функції змінної , – відомі функції змінних, які визначені на множині , називається нормальною системою диференціальних рівнянь першого порядку. Якщо всі функції не залежать від змінної , то систему
називають автономною або стаціонарною системою диференціальних рівнянь.
Нехай – відомі дійсні числа такі, що Рівності
(2)
називаються початковими умовами нормальної системи (1).
Сукупність функцій
, (3)
які диференційовні на проміжку , називається розв’язком системи (1) на цьому проміжку, якщо вони кожне рівняння системи перетворюють у тотожність
Задачу знаходження розв’язку системи диференціальних рівнянь (1), який задовольняє початкові умови (2), називають задачею Коші.
Множина
,
де – деякі додатні числа називається замкненим прямокутним паралелепіпедом простору . За теоремою про необхідну і достатню умови компактності множини в просторі паралелепіпед є компактом.
Нехай функції – неперервні на компакті . За теоремою про обмеженість неперервних функцій на компакті існують додатні числа такі, що
для всіх , .
Функції на множині задовольняють умови Ліпшиця за змінними , якщо існують такі додатні числа , що
для всіх , і .
Теорема. Якщо функції , , неперервні на замкненому прямокутному паралелепіпеді і задовольняють умови Ліпшиця за змінними , то задача Коші (1)-(2) на відрізку , де має єдиний розв’язок.
1. Зведення лінійного диференціального рівняння -го порядку до нормальної системи диференціальних рівнянь
Нехай є диференціальне рівняння
, (1.1)
де – відомі функції, визначені на множині .
Позначимо
. (1.2)
Оскільки – невідома функція, то – також невідомі функції. При цьому
,
.
Увівши нові невідомі функції (1.2), лінійне диференціальне рівняння -го порядку (1.1) можна замінити наступною нормальною системою диференціальних рівнянь
(1.3)
Нормальну систему диференціальних рівнянь (1) можна звести до диференціального рівняння -го порядку. Але це можна зробити лише за певних умов і робиться воно значно складніше.
2. Система лінійних однорідних диференціальних рівнянь
першого порядку
Означення. Система вигляду
(2.1)
де – відомі неперервні на проміжку функції, – шукані диференційовні функції, називається системою лінійних однорідних диференціальних рівнянь першого порядку –ЛОС.
Якщо з коефіцієнтів системи побудувати матрицю , а з функцій – вектор-функцію :
то системи (2.1) запишеться у вигляді:
. (2.2)
Такий запис системи (2.1) називається векторно-матричною формою.
Теорія ЛОС певною мірою нагадує теорію ЛОР. Наведемо без доведення деякі твердження з теорії ЛОС.
Теорема 2.1. Якщо вектор-функція є розв’язком ЛОС (2), то , де – довільна стала, також розв’язок (2.2).
Теорема 2.2. Якщо вектор-функції і є розв’язками ЛОС (2.2), то їх сума також розв’язок (2.2).
Для вектор-функцій мають місце поняття лінійної залежності та лінійної незалежності.
Означення. Система вектор-функцій називається лінійно незалежною на множині , якщо рівність
виконується для всіх тільки за умови, що всі числа дорівнюють нулю: .
Означення. Система вектор-функцій називається лінійно залежною на множині , якщо існують числа такі, що
,
при яких рівність
виконується для всіх .
Означення. Будь-який набір з лінійно незалежних розв’язків ЛОС (2) називається фундаментальною системою розв’язків цієї системи.
Якщо
,
то матриця
(2.3)
називається фундаментальною матрицею розв’язків ЛОС.
Квадратну матрицю при потребі будемо записувати як однорядкову матрицю , елементами якої є вектор-функції .
Матриця (2.3) буде фундаментальною на проміжку тоді і тільки тоді, коли її визначник не дорівнює нулю на цьому проміжку. Визначник фундаментальної матриці розв’язків називається визначником Вронського і позначається :
.
Для визначника Вронського має місце формула Якобі
(2.4)
де , – слід матриці . З формули Якобі випливає, що визначник Вронського не дорівнює нулю на проміжку , якщо він відмінний від нуля хоч би в одній внутрішній точці цього проміжку.
Диференційовна вектор-функція , де – довільні сталі, називається загальним розв’язком ЛОС (2) на проміжку , якщо:
1) на цьому проміжку вона разом зі своїми похідними перетворює рівняння системи в тотожності,
2) для будь-яких і існують сталі такі, що розв’язок задовольняє початкову умову
де .
Теорема 2.3. Якщо – фундаментальна матриця розв’язків ЛОС, то вектор-функція , де – довільний сталий вектор, є загальним розв’язком цієї системи.
Д о в е д е н н я. Нехай вектор-функції на проміжку утворюють фундаментальну систему розв’язків системи.
Утворимо фундаментальну матрицю розв’язків
і знайдемо її похідну (похідною матриці називається матриця, елементами якої є похідні її елементів):
.
Доведемо, що матриця перетворює ЛОС в матричну тотожність на проміжку .
Вектор-функції є розв’язками ЛОС. Тому вони перетворюють її на проміжку у векторні тотожності
.
Виконуючи множення матриці на матрицю нескладно переконатися, що
.
Тому
для всіх .
Доведемо, що – розв’язок ЛОС. Для цього розглянемо різницю :
.
Ми дістали векторну тотожність, яка означає, що – розв’язок ЛОС при будь-якому сталому векторі .
Визначимо вектор так, щоб вектор-функція задовольняла початкову умову для будь-якого і для будь-якого -вимірного сталого вектора :
.
Отже, вектор-функція , де матриця – обернена до матриці , є розв’язком ЛОС і задовольняє початкову умову .
Теорему доведено.