5.2 Пример выполнения рпз № 4. Расчет центрально-сжатой
колонны на устойчивость
Исходные данные: схема закрепления и поперечное сечение колонны (см. рисунок 10), P = 500 кН; L = 3 м ; с = 40 мм ; [σ] = 160 МПа .
Рисунок 10 - Схема закрепления и поперечное сечение колонны
Требуется :
- подобрать размеры поперечного сечения ;
- определить критическую силу;
- определить коэффициент запаса устойчивости.
Решение
1 Расчет размеров поперечного сечения ведем методом последовательного приближения из условия устойчивости :
,
где φ – коэффициент продольного изгиба.
Первое приближение. Пусть φ1 = 0,5.
Тогда расчетная площадь одного швеллера будет равна:
.
По ГОСТу 8240-89 выбираем швеллер № 12:
;
;
;
;
.
Определим геометрические характеристики всего сечения относительно главных центральных осей инерции XY (рисунок 11).
Площадь сечения равна:
.
Рисунок 11- Поперечное сечение колонны
Главные центральные моменты инерции сечения равны:
;
.
Главные центральные радиусы инерции равны:
;
.
Гибкость стержня относительно свободной оси Х равна:
,
где μ=0,5 – коэффициент приведения длины; L = 300см – длина колоны.
Гибкость стержня относительно материальной оси Y равна:
.
Дальнейший
расчет ведем по максимальной гибкости:
.
Уточним коэффициент продольного изгиба по таблице 4.1[6]:
при
;
;
при
;
.
Линейно интерполируем:
.
Так
как
повторяем расчет в следующем приближении.
Второе приближение. Коэффициент продольного изгиба рассчитаем по формуле:
.
Повторяем расчет, как в первом приближении.
.
По ГОСТу 8240-89 выбираем швеллер №10:
;
;
;
;
.
Геометрические характеристики сечения равны:
;
;
;
;
.
Гибкости колонны равны:
;
;
.
Уточним
коэффициент
:
;
.
Третье приближение
;
.
По
ГОСТу 8240-89 выбираем швеллер № 10, для
которого рассчитан коэффициент
в предыдущем приближении
,
.
Четвертое приближение
;
.
По ГОСТу повторно выпадает швеллер № 10.
Так как с каждым приближением выбор номера швеллера повторяется, то
остановимся на этом сечении и проверим его устойчивость:
;
;
;
;
Условие устойчивости соблюдается.
Критическую силу определим по формуле Ясинского, т. к. значение максимальной гибкости для выбранного сечения не превышает предельной гибкости стали:
;
,
где коэффициенты
и
для малоуглеродистой
стали равны:
;
;
.
Коэффициент запаса устойчивости равен:
.
Заключение: для заданной колонны выбрано поперечное сечение, состоящее из четырех швеллеров № 10, для которого выполняется условие устойчивости с коэффициентом запаса 2,1.
Список литературы
1 Сопротивление материалов / Под редакцией Г.С.Писаренко: Учебник. - 5-е изд., перераб. и доп. - Киев: Вища шк., 1986. - 775 с.
2 Подскребко М.Д. Сопротивление материалов.- Мн.: Дизайн ПРО, 1998. - 592 с.
3 Александров А.В. Сопротивление материалов: Учеб. пособие. - М.: Высш. шк., 1995. - 560 с
4 Е.Ф. Винокуров Справочник по сопротивлению материалов. - Мн: Наука и техника, 1988 – 464 с.
5 Копнов В.А. Сопротивление материалов: Руководство для решения задач и выполнения лабораторных и расчётно- графических работ. В.А. Копнов, С.Н. Кривошапко– М.: Высш. шк. 2003. – 486 с.
6 «Сопротивление материалов». Методические указания по использованию основных стандартов и справочных данных /Сост. И.А. Леонович, С,В. Гонорова, О.В. Гонорова. – Могилев: Бел.-Рос. ун-т, 2005.- 30с.