4.2 Пример выполнения рпз № 3. Расчет колонны на внецентренное сжатие

Исходные данные: В заданном поперечном сечении колонны (рисунок 5) приложена сила Р = 900 кН; допускаемое напряжение на растяжение равно

[σ_р] = 2 МПа, на сжатие - [σ_сж ] = 20 МПа.

Рисунок 5 - Заданное сечение колонны

Требуется:

- определить положение нейтральной (нулевой) оси;

- вычислить нормальное напряжение во всех угловых точках сечения и построить эпюру нормальных напряжений;

- определить значение экстремального напряжения и дать заключение о прочности колоны;

- определить положение ядра сечения;

- найти допускаемую нагрузку для заданных размеров поперечного сечения и координат точки приложения силы.

Решение

1 Определяем геометрические характеристики сечения. Заданное поперечное сечение разбиваем на прямоугольники 1, 2, 3 (рисунок 6).

Площадь поперечного сечения равна:

Рисунок 6 - Разбиение заданного сечения на отдельные фигуры

Определяем положение центра тяжести поперечного сечения относительно начальных осей УХ_о.

В данном примере ось У является главной центральной осью сечения, поэтому координата центра тяжести .

Проводим главную центральную ось сечения Х.

Определяем главные центральные моменты инерции относительно осей ХУ.

,

где с₁, с₂ ,с₃ - расстояния от главной центральной оси Х до осей Х₁, Х₂, Х₃ соответственно. (При выполнении пояснительной записки к расчетно-проектировочному заданию студент обязан показать расчет этих расстояний).

;

.

.

Квадраты радиусов инерции сечения равны:

; .

Определяем положение нейтральной оси.

Координаты точки приложения силы относительно главных центральных осей инерции сечения (точка Р, рисунок 7) равны:

.

Величины отрезков, отсекаемых нейтральной осью на главных центральных осях, равны:

;

.

Рисунок 7 - Нейтральная ось сечения

Вычисляем нормальные напряжения во всех угловых точках сечения по формуле:

Получаем следующие значения напряжений:

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

.

По полученным значениям нормальных напряжений в масштабе строим эпюру нормальных напряжений в мегапаскалях (рисунок 8). Проводим нейтральную линию.

Рисунок 8 - Эпюра нормальных напряжений

Определяем значения наибольших сжимающих и растягивающих напряжений, пользуясь эпюрой нормальных напряжений.

;

Производим проверку колонны на прочность:

;

.

Вывод: так как условия прочности выполняются, то прочность колонны обеспечена.

Строим ядро сечения колонны, определяя координаты узловых точек по формулам:

; ,

где Х_о, У_о – отрезки, отсекаемые на главных центральных осях касательными к контуру сечения колонны.

Касательная 1-1: ;

; .

Касательная 2-2: Производим расчет отрезков Х_о, У_о (рисунок 9)

; ;

;

;

; .

Касательная 3-3: ; ;

; .

Касательная 4-4: используя симметрию сечения

; ;

.

Касательная 5-5: ; ;

; .

Касательная 6-6: ; ;

; .

Рисунок 9 - Ядро сечения

Определяем величину допускаемой нагрузки из условия прочности на сжатие:

;

;

.

Определяем величину допускаемой нагрузки из условия прочности на растяжение:

;

;

.

Допускаемой нагрузкой будет меньшая из рассчитанных: [P] = 1095 кН.