Приложение 2.
2.1.1. Представление чисел и перевод из одного счисления в другое.
Рассмотрим n-разрядный вектор
В = bn-1…b1b0
Здесь bi
= 0 или 1 при 0 ≤
≤ n-1. Этот вектор
может представлять беззнаковое
целочисленное значение V
в диапазоне от 0 до 2n-1,
где
V(B) = bn-1 х 2n-1 + ...+b1 х 21 + b0 х 20
Совершенно очевидно, что нам необходимо как-то представлять и положительные, и отрицательные числа. Существуют три системы представления чисел со знаком:
значение со знаком;
дополнение до единицы;
дополнение до двух.
Во всех трех системах крайний слева бит, называемый самым старшим разрядом (Most Significant Bit, MSB), равен 0 в случае положительных чисел и 1 — в случае отрицательных. На рис. 2.1 все три представления показаны на примере 4-разрядных (4-битовых) чисел. Положительные значения во всех трех системах представляются одинаково, а отрицательные — по-разному. В системе значения со знаком отрицательные числа отличаются от соответствующих положительных чисел тем, что значение самого старшего бита в векторе В равняется не 0, а 1. Например, число +5 представляется как 0101, а число -5 как 1101. В представлении дополнения до единицы отрицательные значения получают путем дополнения каждого разряда соответствующего положительного значения до единицы. Таким образом, представление числа -3 формируется путем дополнения каждого бита вектора 0011, так что в результате получается 1100. Очевидно, что эту же операцию необходимо выполнить для преобразования отрицательного числа в соответствующее положительное. И в одном и в другом случае преобразование называется дополнением числа до единицы. Операция формирования дополнения заданного числа до единицы эквивалентна вычитанию этого числа из 2n-1, то есть из 1111 в случае 4-разрядных чисел. В системе дополнения до двух операция дополнения производится путем вычитания числа из 2n. То же самое значение можно получить и путем добавления 1 к дополнению этого числа до единицы.
Обратите внимание, что в системах значения со знаком и дополнения до единицы числа +0 и -0 представляются по-разному, а в системе дополнения до двух — одинаково. Имея всего четыре разряда, значение -8 можно представить в системе дополнения до двух, но нельзя представить ни в одной из двух других систем. Для нас наиболее естественной представляется система значения со знаком, поскольку мы привыкли иметь дело с десятичными значениями со знаком. Систему дополнения до единицы относительно легко связать с системой значения со знаком, а вот система дополнения до двух кажется несколько неестественной. Но, именно она оказалась наиболее эффективным способом представления чисел с точки зрения выполнения операций сложения и вычитания. Поэтому она чаще всего используется и в компьютерах.
-
Двоичное значение
Представление числа в системе
значения со знаком
дополнения до единицы
дополнения до двух
0111
+7
+7
+7
0110
+6
+6
+6
0101
+5
+5
+5
0100
+4
+4
+4
0011
+3
+3
+3
0010
+2
+2
+2
0001
+1
+ 1
+1
0000
+0
+0
+0
1000
-0
-7
-8
1001
-1
-6
-7
1010
-2
-5
-6
1011
-3
-4
-5
1100
-4
-3
-4
1101
-5
-2
-3
1110
-6
-1
-2
1111
-7
-0
-1
Рис. 2.1. Двоичное представление целых чисел со знаком