29.Крывая нулявога кручэння.Пункты сплашчэння

Т-ма:Крывая класа кручэння ᴂ ў кожным пункце роўна нулю,з’яўляецца плоскай крывой(адваротнае таксама верна)

Доказ: Няхай γ∈ , тады маем:

Пункт бірэгулярнай крывой , у якім кручэнне ᴂ=0 наз. Пунктам сплашчэння.

Відавочна адвольная простая крывая складаецца з пунктаў сплашчэння.

На іншых крывых пункты сплашчэння могуць адсутнічаць ўвогуле, напрыклад, на шрубавай лініі.

Як знайсці пункты сплашчэння на бірэгулярнай крывой класа дастаткова вырашыць раўнанне:

Адвольная дапушчальная параметрызацыя

ᴂ= =0

30*.Асноўная тэарэма тэорыі крывых

Натуральнымі раўнаннямі крывой 𝛄 наз. Залежнасць

Крывізны k і кручэння ᴂ ў кожным пункце гэтай крывой ад натуральнага параметра s гэтага пункта.

Сцв. Для адвольнай бірэгулярнай крывой γ класа існуе бясконцая кол-сць натуральных раўнанняў, яны адрозніваюцца выбарам пункта адліку параметра s, у якім s=0.

Т-ма(асноўная т-ма тэорыі крывых)

Няхай зададзены дзве ф-цыі

Прычым першая неадмоўная

Тады існуе адзіная з дакладнасцю да палажэння у пр-ры годная крывая класа і некаторая яе натуральная параметрызацыя

Такія,што крывізна і кручэнне гэтай крывой γ у пункце з параметрам s , роўнае k(s), ᴂ(s) адпаведна.

Другімі словамі крывізна k і кручэнне ᴂ гэта сукупнасць двух скалярных геаметрывчных інварыянтаў, якія адзначаюць крывую

У сэнсе сфармуляванай т-мы:

Схема доказу:

Доказ зводзіцца да інтэгравання сіс-мы раўнання ф-лы Фрэнэ:

Такім чынам дадзеная т-ма ёсць т-ма існавання рашэння задачы Кашы, для указанай сіс-мы раўнання, пры дадзеных пачатковых умовах.

Калі рашэнне будзе знойдзена

Параметрызацыю крывой γ можна вастанаўляць па ф-ле:

Вынік:Усякая простая крывая пастаяннай ненулявой крывізны ёсць акружнасць ці яе частка.

На самой справе натуральныя раўнанні такой крывой будуць

З другога боку, такія раўнанні маюць акружнасць

Паколькі натуральныя раўнанні вызначаюць крывую адназначна іншых такіх крывых няма.

Вынік2:Усякая крывая не плоская з пастаяннай крывізной

Ёсць шрубавая лінія ці яе частка.

На самой справе абгрунтуем гэтыя натуральныя раўнанні, такой крывой будуць:

31**.Судатыканне крывых.

32**.Эвалюта і эвальвента