Решение.
Воспользуемся признаком сравнения.
Общий член исходного ряда : .
Учитывая, что для больших значений : , то сравним исходный ряд с рядом , общий член которого равен
.
Вычислим предел:
.
Так как значение предела не равно 0, то оба ряда являются сходящимися или расходящимися.
Заметим, что обобщенный гармонический ряд является сходящимся, если и расходится, если .
Так как ряд сходится , то и исходный ряд сходится.
Ответ: ряд сходится.
б) .
Решение.
Воспользуемся признаком Д’Аламбера.
Определим и члены ряда:
и .
Вычислим предел:
Ряд расходится, так как значение предела больше 1.
Заметим, что если значение предела меньше 1, то ряд сходится.
Ответ: ряд расходится.
№12. Исследовать сходимость ряда:а) .
Решение.
Воспользуемся признаком Коши.
Общий член ряда .
Вычислим предел:
, так как .
Ряд сходится, так как значение предела меньше 1.
Заметим, что если значение предела больше 1, то ряд расходится.
Ответ: ряд сходится.
б) .
Решение.
Исходный ряд является знакочередующимся рядом , где . Воспользуемся следствием признака Лейбница о сходимости таких рядов: если члены знакочередующегося ряда , , монотонно убывают , начиная с некоторого номера , и стремятся к нулю , то ряд сходится.
Очевидно, что .
Вычислим предел:
.
Так как , то
.
Решим неравенство: , т.е.
Тогда и
.
Следовательно,
и .
Разложим левую часть неравенства на множители. Для этого решим уравнение , дискриминант которого равен .
Откуда
и .
Таким образом или и неравенство выполняется для любого натурального .
Следовательно, исходный ряд является сходящимся.
Ответ: ряд сходится.
№13. Найти область сходимости степенного ряда: .
Решение.
Исходный ряд является степенным рядом вида , где
.
Тогда .
Вычислим радиус сходимости степенного ряда:
.
Следовательно, , т.е. интервал сходимости ряда.
Если, , то получим ряд
,
который расходится, как и гармонический ряд .
Если, , то получим ряд
.
Полученный ряд сходится, как знакочередующийся ряд , где , так как , то
,
и
- монотонно убывающая последовательность.
Таким образом, область сходимости степенного ряда.
Ответ: .