Тема 6. Прогнозирование, основанное на использовании моделей временных рядов.
Характерной чертой адаптивных методов прогнозирования является их способность непрерывно учитывать эволюцию динамических характеристик изучаемых процессов, «адаптироваться» к этой эволюции, придавая тем больший вес, тем более высокую информационную ценность имеющимся наблюдениям, чем ближе они к текущему моменту прогнозирования.
В основе процедуры адаптации лежит метод проб и ошибок. По модели делается прогноз на один интервал по времени. Через один шаг моделирования анализируется результат: насколько он далек от фактического значения. Затем в соответствии с моделью происходит корректировка. После этого процесс повторяется. Таким образом, адаптация осуществляется рекуррентно с получением каждой новой фактической точки ряда.
Методы экспоненциального сглаживания. Модель Брауна.
Пусть анализируемый временной ряд x(t) представлен в виде:
x(t) = a0 + ε(t),
где a0 – неизвестный параметр, не зависящий от времени, ε(t) - случайный остаток со средним значением, равным нулю, и конечной дисперсией.
Экспоненциально взвешенная скользящая средняя ряда определяется формулой:
.
Для рядов с «бесконечным прошлым» формула запишется следующим образом:
.
Коэффициент сглаживания λ можно интерпретировать как коэффициент дисконтирования, характеризующий меру обесценивания информации за единицу времени. Из формулы видно, что веса λj уменьшаются экспоненциально по мере удаления в прошлое (с ростом j)– отсюда и название метода.
В соответствии с методом Брауна прогноз x*(t+1) для неизвестного значения x(t+1) по известной до момента времени t траектории ряда x(t) строится по формуле:
x*(t;1)
=
,
где значение определяется по рекуррентной формуле:
.
В
качестве
берется, как правило, среднее значение
ряда динамики или среднее значение
нескольких начальных уровней ряда.
Случай линейного тренда, x(t) = a0 + a1t + ε(t).
В этом случае прогноз x*(t;1) будущего значения определяется соотношением:
x*(t;1)
=
,
а
пересчет коэффициентов
осуществляется
по формулам:
Начальные значения коэффициентов берутся из оценки тренда линейной функцией.
Модель Хольта.
В модели Хольта введено два параметра сглаживания λ1 и λ2 (0< λ1,λ2 <1). Прогноз x*(t;l) на l шагов по времени определяется формулой:
x*(t;l)
=
,
а
пересчет коэффициентов
осуществляется
по формулам:
Модель Хольта-Уинтерса.
Эта модель помимо линейного тренда учитывает и сезонную составляющую. Прогноз x*(t;l) на l шагов по времени определяется формулой:
x*(t;l)
=
,
где ω(t) – коэффициент сезонности, а T – число временных тактов, содержащихся в полном сезонном цикле.
Видно, что в данной модели сезонность представлена мультипликативно. Формулы обновления коэффициентов имеют вид:
Модель Тейла-Вейджа.
Если исследуемый временной ряд имеет экспоненциальную тенденцию с мульти-пликативной сезонность, то после логарифмирования обеих частей уравнения получается модель с линейной тенденцией и аддитивной сезонностью или модель Тейла-Вейджа.
Имеется модель:
x(t) = a0(t) + ω(t) + δ(t),
a0(t) = a0(t-1) + a1(t).
Здесь a0(t) – уровень процесса после устранения сезонных колебаний, a1(t) – адди-тивный коэффициент роста, ω(t) – аддитивный коэффициент сезонности и δ(t) – белый шум.
Прогноз x*(t;l) на l шагов по времени определяется формулой:
x*(t;l)
=
.
Коэффициенты вычисляются рекуррентным способом по формулам:
Для определения оптимальных значений параметров адаптации перебирают различные наборы их значений и сравнивают получающиеся при этом среднеквадратические ошибки прогнозов.