6

Работа № 5 определение собственных частот колебаний струны с помощью резонатора

Цель работы: изучить колебания струны на различных частотах, определить собственные частоты струны и рассчитать плотность материала струны.

Приборы и принадлежности: устройство для изучения собственных колебаний струны (резонатор).

Теоретическая часть

В периодическом явлении изменение какой-либо величины повторяется в том же виде через совершенно определенное время – период T. График периодически изменяющейся величины повторяется в точности через период (рис. 1а). Среди разнообразных колебаний, встречающихся в природе, основную и очень важную роль играют гармонические колебания. Гармонические колебания представляют собой периодический процесс, в котором изменения наблюдаемой величины происходит по закону синуса (рис. 1б) (или косинуса):

x = A sin (t + ) или x = A cos (t + ), (1)

где х – отклонение колеблющейся точки от положения равновесия в момент времени t, А – амплитуда колебания (максимальное отклонение точки от положения равновесия),  = 2 – круговая (циклическая) частота;  – частота колебаний, ,  – начальные фазы, показывающие положение колеблющейся точки в момент времени t = 0; (t + ) – фаза колебаний в любой момент времени t. Гармоническое колебание полностью характеризуется амплитудой, частотой и начальной фазой.

Колебания являются наиболее общей формой движения динамических систем вблизи положения равновесия. При достаточно малых отклонениях от положения равновесия колебания бывают обычно гармоническими. Этим и определяется их особая важность. Но это не значит, что гармоническими колебаниями могут быть только малые колебания. Колебание, описываемое уравнением вида (1), является гармоническим независимо от значения х.

а

б

Рис. 1

Собственными называются колебания системы, совершаемые под действием лишь внутренних сил без внешних воздействий. В этом случае частота колебаний зависит от физических свойств самой системы, а амплитуда и начальная фаза – от начальных условий колебательного процесса. Внутренняя сила (например, сила упругости) является возвращающей силой, пропорциональной отклонению колеблющегося тела от положения равновесия.

Рассмотрим процесс распространения собственных колебаний на примере струны. Гибкая однородная струна, закрепленная на концах (рис. 2а), после выведения из положения равновесия совершает сложные колебания – собственные колебания (рис. 2б). Колебания каждой точки струны можно представить в виде гармонического спектра – совокупности гармонических колебаний. В случае собственных колебаний частόты гармонических колебаний (гармоник) кратны наименьшей частоте ₀ (частоте первой гармоники) – ₀, ₂ = 2₀, ₃ = 3₀ и т. д. В гармоническом спектре сложного колебания указываются частоты и амплитуды всех составляющих его простых колебаний.

Если в среде одновременно распространяется несколько волн (бегущих волн), то, как показывает опыт, одна и та же частица среды одновременно участвует в нескольких волновых движениях. При этом справедлив принцип наложения (или принцип суперпозиции), т.е. каждая волна распространяется в среде независимо от наличия других волн. Явление наложения двух (или нескольких) волновых движений при определенных условиях называется интерференцией.

При интерференции двух встречных волн с одинаковой частотой, амплитудой и постоянной разностью фаз получается так называемая стоячая волна, в которой максимумы и минимумы интерференции не перемещаются в пространстве и носят название пучностей и узлов соответственно. Если амплитуды бегущих навстречу волн не равны, то волновое движение состоит из стоячей и бегущей волны. Амплитуда результирующей бегущей волны равна разности амплитуд основных бегущих волн.

Так как частицы, находящиеся в узлах, совсем не двигаются, то нет и передачи энергии через узловые точки (энергия не распространяется вдоль стоячей волны); только частицы находящиеся между узлами обмениваются энергией. Поэтому движение в стоячей волне, по существу, уже не является волновым движением, хотя оно и получается в результате интерференции двух бегущих волн с одинаковой амплитудой.

Для создания условий наблюдения стоячих волн наиболее просто использовать бегущую волну и волну, получаемую при отражении этой же бегущей волны от границы раздела двух сред. Волна, достигшая границы, на которой резко изменяются свойства среды (например, плотность), отражается и, накладываясь на набегающую волну, может образовать вместе с ней (при определенных выше условиях) стоячие волны.

Уравнение для волны, бегущей в положительном направлении оси ОY, можно записать в виде:

х₁ = А cos (t – 2y/). (2)

Для волны отраженной от некоторой поверхности с большей плотностью (фаза отраженной волны меняется на  (см. работу № 7)):

х₂ = А cos (t + 2y/ + ). (3)

Рис. 2

Здесь х₁ и х₂ – смещение точки от положения равновесия в момент времени t,    – круговая частота, у – координата колеблющейся точки (расстояние от источника),  – длина волны. То обстоятельство, что волны распространяются в противоположных направлениях, выражается изменением знака перед выражением .

Складывая уравнения (2) и (3), получим уравнение стоячей волны:

х = 2А sin (2y/) sin t. (4)

Уравнение стоячей волны для струны, учитывая выражение для ее собственной частоты колебаний , имеет вид:

(5)

где n – номер гармоники; х_n – отклонение от положения равновесия точки, расположенной на расстоянии у от конца струны; – амплитуда колебания, которая зависит от координаты y точки; F – сила натяжения струны;  – плотность материала, из которого изготовлена струна; S – площадь поперечного сечения струны, L – длина струны.

Точки, в которых , в течении всего процесса остаются неподвижными и называются узлами стоячей волны (обозначены как О на рис. 2). Точки, в которых , совершают колебания с максимальной амплитудой и называются пучностями (обозначены как П на рис. 2). Профиль стоячей волны представляет собой синусоиду в любой фиксированный момент времени. Визуально мы наблюдаем суммарную картину, складывающуюся из последовательных положений струны, которые она принимает в отдельные моменты времени (см. рис. 2в – стоячая волна, соответствующая наименьшей частоте ₀). Человеческий глаз не может выделить отдельное положение струны при ее колебании с частотой, большей 25 Гц.

Полное колебание струны можно представить суммой, образующейся в результате сложения стоячих волн с частотами, кратными частоте ₀ первой (основной) гармоники: х = х₁ + х₂ + х₃ + … (рис. 2б – суммарное колебание х = х₁ + х₂ + х₃). Колебания струны обычно воспринимаются ухом человека по звуку (см. работу № 4), который она издает. При этом звук струны является наложением простых колебаний (тонов), соответствующих стоячим волнам, возникающим по всей длине струны.

Интенсивность возникающей звуковой волны определяется энергией и, следовательно, амплитудами всех слагаемых колебаний. Высота сложного тона струны определяется самой низкой частотой в спектре звука. Колебание с такой частотой называется основным тоном. Остальные колебания в спектре с частотами, кратными ₀ (₂ = 2₀, ₃ = 3₀, …), называются обертонами.

На рис. 2 представлены стоячие волны, соответствующие основному тону (частота ₁ = ₀) (рис. 2г), второй (рис. 2д) и третьей (рис. 2е) гармоникам (₂ = 2₀, ₃ = 3₀). Следует отметить, что в подавляющем большинстве случаев амплитуды гармоник сильно убывают по мере увеличения их номера, поскольку упругие свойства материала остаются неизменными.

Тембр звука зависит от присутствия обертонов наряду с основным тоном и от распределения энергии по обертонам. Таким образом, если создать в струне колебательное движение путем однократного механического воздействия (щипка), то низшим тоном будет основной тон струны ₀, энергия которого, как правило, больше энергии других гармоник (обертонов).

Если к звучащей струне прикоснуться точно в середине, то частота звука резко изменится и струна будет звучать на октаву выше по сравнению со своим основным тоном, т. е. тон станет вдвое выше. Этот прием изменения тона часто применяется при игре на струнных инструментах и носит название флажолета. Поскольку с точки зрения теории колебаний полное колебание струны есть сумма стоячих волн, то становится ясным, что в момент прикосновения к середине струны мы гасим стоячие волны, имеющие в этой точке пучности, и сохраняем лишь гармоники, имеющие в этой точке узлы. Таким образом, остаются лишь четные гармоники ₂ = 2₀, ₄ = 4₀, … и самой низкой частотой будет вторая гармоника ₂, которая в данном рассмотрении становиться основным тоном.

Если прикоснуться к струне на расстоянии 1/3 от ее конца и вывести из положения равновесия только 1/3 часть струны, то высота основного тона повышается втрое. При этом сохраняются лишь гармоники, кратные трем (₃ = 3₀, ₆ = 6₀, ₉ = 9₀, …).

В отличие от собственных, вынужденные колебания происходят под действием внешней периодической силы:

F = F₀ sin t, (6)

где F₀ – амплитуда силы,  - ее частота. В этом случае сложная картина колебаний натянутой струны создается наложением друг на друга многократно отраженных волн той же частоты , бегущих в прямом и обратном направлениях. Фаза и амплитуда этих колебаний определяются как значением силы, так и характеристиками колебательной системы (струны).

Максимального значения амплитуда колебаний достигает при частоте внешней силы , близкой к частоте собственных колебаний струны (  ₀). Колебания с максимальной амплитудой называются резонансными, а само явление «раскачки» колебаний до максимальной амплитуды при   ₀ называется резонансом. Частота ₀ в этом случае называется резонансной. При отклонении частоты внешней силы от ₀ амплитуда колебаний резко уменьшается.

Экспериментально с помощью резонатора можно провести выделение простых тонов исследуемой металлической струны.