6

Работа № 1 определение ускорения свободного падения с помощью оборотного маятника

Цель работы: определение ускорения свободного падения в месте нахождения исследователя (географической широте) с помощью физического оборотного маятника.

Приборы и принадлежности: маятник универсальный, миллисекундомер.

Теоретическая часть

Под действием силы притяжения к Земле все тела падают с одинаковым относительно поверхности Земли ускорением, которое принято обозначать буквой g. Это означает, что в системе отсчета, связанной с Землей, на любое тело массы m действует сила P = mg, называемая силой тяжести.

Ускорение свободного падения g является важной величиной в описании многих механических процессов. Обычно в расчетах принято использовать g = 9,8 м/с², однако она не является постоянной величиной, а зависит от места измерения: географической широты, высоты поднятия над уровнем моря, залежей руды в данной местности. Определить величину g можно с помощью приборов – гравиметров, в основе которых лежит маятник.

Физическим маятником может быть любое твердое тело (см. работу № 2), совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через точку подвеса, не совпадающей с центром масс тела. Если точка подвеса совпадает с центром масс тела, то тело находиться в положении безразличного равновесия и никакие колебания совершаться не могут (центр масс – воображаемая точка, в которой можно сосредоточить всю массу тела и рассматривать движение тела, как движение этой точки). При малой амплитуде колебаний маятника их период выражается формулой:

, (1)

где I – момент инерции тела, m – его масса, g – ускорение свободного падения, а – расстояние между точкой подвеса О и центром масс С (рис. 1).

Математическим называют физический маятник, который представляет собой материальную точку массой m, подвешенную на невесомом твердом стержне длиной . Под материальной точкой понимается физический объект, в геометрическом смысле эквивалентный математической точке, но обладающий массой. Тело, размерами и формой которого можно пренебречь в данной задаче, можно считать материальной точкой. Примером может служить маленький металлический шарик, подвешенный на длинной тонкой нерастяжимой нити. Период колебаний такого маятника определяется соотношением:

. (2)

Выражение (1) можно привести к виду (2), если применить подстановку:

, (3)

где величина называется приведенной длиной физического маятника. Таким образом, если приведенная длина физического маятника равна длине математического маятника, то периоды колебаний обоих маятников одинаковы.

На прямой, проходящей через центр масс С и точку подвеса О физического маятника, выделяют еще одну точку – центр качания (точка D на рис. 1). Эта точка находится на расстоянии от точки подвеса (при условии, что центр масс лежит между указанными точками). Основное свойство центра качания физического маятника состоит в том, что период колебаний физического маятника не изменяется при переносе точки подвеса в центр качания. Прежняя точка подвеса становится новым центром качания, а прежний центр качания – новой точкой подвеса, т. е. точка подвеса и центр качаний обратимы.

Использование произвольных физических маятников удобно для определения аномалий величины g в различных точках поля тяготения. При определении же самого значения g возникает трудность точного вычисления момента инерции маятника.

Это затруднение устраняется в методе Бесселя, в котором из расчетных формул исключается момент инерции маятника. Метод основан на свойстве обратимости точки подвеса и центра качания физического маятника, поэтому его еще называют методом оборотного маятника. Используемый физический маятник обычно представляет собой стержень с двумя призмами (O, D) и двумя грузами (А, В) (рис. 2).

По теореме Гюйгенса – Штейнера момент инерции I маятника относительно произвольной оси равен:

I = I₀ + ma², (4)

где I₀ – момент инерции маятника относительно оси, проходящей через его центр масс, m – масса маятника, а – расстояние между центром масс и точкой подвеса, через которую и проходит произвольная ось.

Пусть маятник совершает колебания относительно точки подвеса О, расположенной на расстоянии а₁ относительно центра масс С (рис. 2). Период колебаний маятника в соответствии с (1) и (4) будет определяться как:

. (5)

Если маятник перевернуть и подвесить его в некоторой точке D, расположенной на расстоянии а₂ по другую сторону от центра масс С и лежащей на прямой, проходящей через точки О и С, то новый период колебаний будет определяться аналогично (5):

. (6)

Используя выражения (5) и (6) можно получить формулу для расчета g:

(7)

Меняя положение грузов А и В на стержне маятника, можно добиться того, чтобы при перевешивании (перевороте) маятника с одной точки подвеса О на другую (точка D, см. рис. 2) период его колебаний не изменялся (Т₁ = Т₂ = Т₀). Тогда вторая точка подвеса (точка D) станет центром качания. Из этого следует, что расстояние между точками O и D станет приведенной длиной физического маятника, то есть а₁ + а₂ = . С учетом этого окончательное выражение для g принимает вид:

(8)

Экспериментально найти сопряженные точки с необходимой точностью нелегко и практически всегда Т₁  Т₂. Из выражений (7) и (8) следует, что:

(9)

Из выражения (9) видно, что ошибка в определении g, связанная с неточным равенством Т₁ и Т₂, будет меньше, если значения а₁ и а₂ существенно отличаются друг от друга. При этом незначительное изменение положения грузов приведет к значительному изменению периода колебаний.