6

Работа № 2

Проверка основного закона динамики

Вращательного движения твердого тела

На маятнике обербека

Цель работы: изучение и проверка основного закона вращательного движения твердого тела.

Приборы и принадлежности: маятник Обербека, вертикальная шкала, набор грузов, электронный секундомер.

Теоретическая часть

Все тела при определенных условиях деформируются, т.е. тем или иным образом изменяют свою форму. Твердым телом в механике называют неизменяемую систему материальных точек (малых макроскопических частей, см. работу № 1), т.е. идеализированную систему, при любых движениях которой взаимные расстояния между материальными точками системы остаются неизменными. Любое сложное движение твердого тела состоит из простых движений: поступательного и вращательного.

Поступательным движением твердого тела называют такое его движение, при котором каждая линия, соединяющая две любые точки тела, остается параллельной самой себе. При поступательном движении все точки тела совершают за один и тот же промежуток времени равные по величине и направлению перемещения. Поэтому все точки тела в данный момент времени имеют одинаковые скорости, а следовательно, и одинаковые ускорения. Чтобы охарактеризовать полностью движение всего тела достаточно определить движение одной из точек тела (например, его центра инерции (центра масс)).

Вращательным движением твердого тела называется такое движение, при котором траектории всех точек тела являются концентрическими окружностями с центром на одной прямой, называемой осью вращения. Для описания вращательного движения нужно задать положение оси вращения в пространстве и угловую скорость  тела в каждый момент времени, где под угловой скоростью понимается вектор , направленный вдоль оси вращения в сторону, соответствующую правилу правого винта (рис. 1), и численно равный величине изменения угла поворота радиус-вектора в единицу времени t: .

Если угловая скорость изменяется во времени, то это изменение характеризуют вектором углового ускорения , направленным так же, как и вектор угловой скорости при ускоренном движении и противоположно – при замедленном движении. Его значение равно величине изменения угловой скорости в единицу времени t: .

При описании вращательного движения, при определении покоя или равновесия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, необходимо знать не силы, а моменты сил относительно оси вращения, которые играют такую же роль, как и силы при движении точки.

Моментом силы М относительно оси называется вектор , направленный вдоль оси вращения радиус-вектора под действием силы в соответствии с правилом правого винта ( =[  ]) и численно равный произведению плеча r на силу F: . Модуль радиус-вектора r называют плечом силы, т.е. кратчайшее расстояние между осью вращения тела и точкой приложения силы F (рис. 1).

Между угловым ускорением  и моментом сил М, действующим на тело, вращающееся вокруг оси, существует взаимосвязь:

. (1)

Величина I носит особое название – момент инерции тела относительно данной оси вращения (см. также работу № 3). Таким образом, момент внешних сил М, вращающих тело вокруг данной оси, равен моменту инерции тела относительно этой оси I, умноженному на угловое ускорение тела . Это и есть основной закон динамики для твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Он формулируется подобно закону динамики для поступательного движения тела (второй закон Ньютона), только вместо силы используется момент сил, вместо линейного ускорения – угловое ускорение, вместо массы – момент инерции.

Проверку основного закона динамики твердого тела можно провести на примере маятника Обербека, который представляет собой маховик крестообразной формы, установленный на вершине вертикальной колонны (рис. 2). По четырем взаимно перпендикулярным стержням маховика можно перемещать грузы массой m. На общей оси с маятником находится валик радиусом r. На него наматывается нить, которая соединена с грузом массой m_гр.

Под действием силы тяжести P, действующей на груз, нить разматывается и приводит маховик в движение. При высоте падения h, времени падения t и начальной скорости груза = 0 линейное ускорение а определяется как:

. (2)

С таким ускорением падает груз и двигаются точки на поверхности валика. Угловое ускорение валика  с радиусом r связано с линейным ускорением а выражением:

. (3)

При равноускоренном движении груза сила натяжения нити Т определяется в соответствии со вторым законом Ньютона как:

T = m_гр(g – a). (4)

Момент этой силы М, действующей на валик во время падения груза, равен:

М = r  Т = r  m_гр(g – a). (5)

Момент инерции маятника I определяется суммой моментов инерции составляющих его частей:

I = I^/ + I^//, (6)

где I^/ – момент инерции валика и стержней, I^// – момент инерции всех четырех грузов на стержнях маятника.

Если все четыре груза расположены на равном расстоянии R от оси вращения, то их суммарный момент инерции равен:

I^// = 4mR², (7)

где m – масса каждого из грузов на стержнях.