6

Работа № 8 определение коэффициента вязкости жидкости методом стокса

Цель работы: изучение методики определения вязкости жидкости, получение навыков работы с микроскопом и определение коэффициента вязкости исследуемой жидкости.

Приборы и принадлежности: стеклянный цилиндр с исследуемой жидкостью, металлические шарики, микроскоп, секундомер.

Теоретическая часть

Кроме механики материальной точки и механики твердого тела существует еще механика сплошных сред, где вещество рассматривается как непрерывная среда. Например, чтобы описать движение жидкости, можно задать положение каждой частицы жидкости как функцию времени. Но можно следить не за частицами жидкости, а за отдельными точками пространства, и отмечать скорость , с которой проходят через них отдельные частицы жидкости.

Состояние движения жидкости можно определить, указав для каждой точки пространства вектор скорости как функцию времени. Совокупность векторов , заданных для всех точек пространства, образует так называемое поле вектора скорости (рис. 1). Величина и направление вектора в каждой точке могут меняться со временем. Если вектор скорости в каждой точке пространства остается постоянным, то течение жидкости – стационарное.

Рис. 1

Рассматривая движение жидкостей, во многих случаях можно считать, что перемещение одних частей жидкости относительно других не связано с возникновением сил трения. Жидкость, в которой внутреннее трение (вязкость) полностью отсутствует, называется идеальной. Но идеальная жидкость является абстракцией. Все реальные жидкости и газы в большей или в меньшей степени обладают вязкостью. Вязкость – это свойство жидкостей или газов оказывать сопротивление течению (например, течение жидкости по трубам постоянного диаметра сопровождается падением статического давления), и проявляется в том, что возникшее в жидкости или газе движение после прекращения действия причин, его вызывающих, постепенно прекращается.

Наблюдается два вида течения жидкости (или газа). В одних случаях жидкость как бы разделяется на слои, которые скользят друг относительно друга, не перемешиваясь. Такое течение называется ламинарным (слоистым). Ламинарное течение стационарно. При увеличении скорости или поперечных размеров потока характер течения существенно изменяется. Возникает энергичное перемешивание жидкости. Такое течение называется турбулентным. При турбулентном течении скорость частиц в каждом месте все время изменяется беспорядочным образом – течение нестационарно.

Во всех реальных случаях жидкость течет, соприкасаясь со стенками труб. В случае ламинарного течения слой жидкости, прилегающий к стенке, остается неподвижным, а каждый из последующих слоев движется по отношению к ней с возрастающей скоростью, т. е. при течении жидкости по трубе скорость слоев непрерывно меняется от нуля (у стенок трубы) до максимальной (по оси трубы) по параболическому закону (рис. 2). Перепад скоростей движущихся слоев жидкости направлен по оси Х, перпендикулярной направлению движения жидкости. Количественно величина различий в скорости движения слоев жидкости характеризуется градиентом скорости d /dx. Градиент скорости grad  = d /dx представляет собой вектор, направленный по нормали к поверхности слоя жидкости ( = const) в сторону возрастания скорости. Значение градиента скорости жидкости, текущей по трубе, так же как и величина скорости, изменяется от стенок к оси трубы. Однако, если скорость минимальна у стенок и максимальна по оси трубы, то значение градиента, наоборот, максимально у стенок и минимально вблизи оси трубы.

Любой из слоев тормозит движение соседнего слоя, расположенного ближе к оси трубы, и оказывает ускоряющее действие на слой, расположенный дальше от оси, поскольку между соприкасающимися слоями жидкости действуют внутренние силы трения, направленные по касательной к слоям против движения более быстрого слоя жидкости. Величина сил трения согласно формуле Ньютона зависит от площади соприкасающихся слоев S и градиента скорости d /dx:

(1)

где  – динамический коэффициент вязкости, численно равный силе трения, возникающий между параллельно движущимися слоями жидкости единичной площади при единичном градиенте скорости.

Единицей коэффициента вязкости является кг/(мс) = Пас (паскаль-секунда). Коэффициент вязкости различен для разных сред и существенно зависит от температуры: с ее ростом вязкость жидкости уменьшается, а вязкость газов увеличивается.

Коэффициент вязкости ряда жидкостей (эмульсий, растворов полимеров) зависит еще и от режима их течения: давления, градиента скорости. Такие жидкости называются неньютоновскими (например, кровь – суспензия клеток крови в белковом растворе (плазме)). Подобное явление объясняется неодинаковым расположением структурных элементов жидкости в потоке при различных скоростях.

Рис. 2

При движении жидкости по трубе вязкость влияет на скорость течения, уменьшая ее. В 1841 г. французский физик и физиолог Пуазейль опытным путем установил, что средняя скорость ламинарного течения жидкости по неширокой круглой трубе постоянного сечения прямо пропорциональна разности давлений Р = Р₁ – Р₂ на входе и выходе из трубы, квадрату радиуса R трубы и обратно пропорционально длине трубы L и коэффициенту вязкости :

(2)

Позднее эту формулу теоретически вывел Гаген. Если учесть, что площадь сечения трубы S = R², то количество жидкости (поток), протекающее через поперечное сечение трубы в единицу времени, равно:

(3)

Эта формула называется формулой Гагена – Пуазейля. По ней можно найти вязкость жидкости, измерив ее объем, вытекающий за определенное время через трубу (по геометрическим размерам и разности давлений на концах).

При движении тела в жидкости на него действуют силы сопротивления, величина которых зависит от многих факторов (формы тела, вязкости жидкости, скорости и т.д.). Общей формулы для вычисления таких сил не существует, однако для небольших тел сферической формы при малых скоростях движения можно использовать следующее соотношение (формула Стокса):

F_C = 6R, (4)

где R – радиус тела,  – скорость тела,  – коэффициент вязкости. Это соотношение лежит в основе одного из методов измерения вязкости – метода Стокса или метода падающего шарика. Метод удобен для определения коэффициента вязкости густых жидкостей (глицерина, масла и т.п.).

Суть метода Стокса заключается в следующем. При падении небольшого металлического шарика в вязкой жидкости на него одновременно действуют три силы: сила тяжести Р, выталкивающая сила F_А, определяемая по закону Архимеда, и сила сопротивления жидкости F_С. Сила тяжести направлена вниз, а выталкивающая сила и сила сопротивления – вверх (рис. 3). Запишем выражения для каждой из этих сил:

(5)

(6)

F_С = 6R. (7)

Здесь V – объем шарика, m₁ и m₂ – массы шарика и вытесненной им жидкости, ₁ и ₂ – плотность материала шарика и жидкости соответственно.

Движение шарика происходит под действием равнодействующей трех сил, определяемой равенством:

m₁a = Р – ( F_А + F_С). (8)

В начале движения, пока скорость шарика невелика, сила сопротивления F_С мала, поэтому сила тяжести, направленная вниз, больше суммы F_С и F_А, направленных вверх – шарик получает ускорение a, направленное вниз (по второму закону Ньютона). Так как при наличии ускорения скорость шарика возрастает, увеличивается и сила сопротивления. Это приводит к тому, что действующая на шарик сила уменьшается по мере увеличения скорости. К некоторому моменту времени сила сопротивления возрастает настолько, что будучи сложенной с выталкивающей силой, полностью уравновешивает силу тяжести. С этого момента (метка «А» на рис. 3) шарик начинает двигаться равномерно со скоростью, которую он набрал к этому моменту (равнодействующая сила при таких условиях равна нулю). Этим можно воспользоваться для определения скорости шарика. Подставляя в формулу (8) соотношения (5-7), получим:

(9)

Из равенства (9) можно выразить искомую величину :

(10)

Таким образом, зная радиус шарика, его плотность и скорость равномерного движения, а также плотность жидкости, можно вычислить коэффициент вязкости. Скорость можно рассчитать по формуле  = S/t, где S – длина участка пути, пройденного шариком при движении с установившейся скоростью, t – время прохождения шариком этого участка.

До сих пор мы рассматривали ламинарное течение жидкости, при котором слои потока постепенно сменяют друг друга (низкие скорости течения жидкости). Если скорость превысит определенное критическое значение, которое зависит от свойств жидкости и диаметра трубы, ламинарное течение не может быть сохранено. Течение становиться очень нерегулярным (турбулентным), в потоке развиваются случайные вихри и резко возрастает сопротивление. Эксперименты показывают, что турбулентность возникает тогда, когда безразмерная величина, представляющая собой комбинацию нескольких физических величин, превосходит критическое значение. Эта величина называется числом Рейнольдса:

(11)

где ,  – плотность и вязкость жидкости соответственно; D – диаметр трубы;  – средняя скорость поступательного течения жидкости.

В выражении (11) для числа Rе в случае движения шарика в жидкости следует считать, что D – диаметр падающего шарика, а  – скорость его движения (падения). В случае сферы (шарика), движущейся в жидкости, ламинарный поток (обтекание шарика) имеет место, когда число Rе < 10. Если Rе > 10, то поток – турбулентный.