Задача № 6
Исследовать функцию и построить схематично её график.
Решение.
Областью определения данной функции являются все действительные значения аргумента , кроме тех, при которых знаменатель дроби обращается в ноль:
; .
.
Определим точки пересечения графика функции с осями координат:
с осью график функции не пересекается, так как ;
с осью при : ; ;
;
.
Точка – точка пересечения графика функции с осью .
Функция не является ни чётной, ни нечётной так как
и , .
Определим точки возможного экстремума, то есть точки из , в которых производная либо не существует.
.
существует при всех , то есть при .
Точка , в которой не существует, не является точкой возможного экстремума, поскольку не входит в область определения функции .
при , то есть при ; .
Значит – единственная точка возможного экстремума, которая разбивает на три интервала: , и .
Определим знак в каждом из этих интервалов по знаку для произвольной точки из соответствующего интервала:
-
+
–
0
+
Функция убывает при и возрастает при .
При переходе через точку меняет знак, значит функция имеет экстремум в точке .
При переходе через точку меняет знак с «–» на «+», значит является точкой минимума функции.
, .
Точка – точка минимума функции .
Определим точки возможного перегиба, то есть точки из , в которых вторая производная либо не существует.
.
существует при всех , то есть при .
Точка , в которой не существует, не является точкой возможного перегиба, поскольку не входит в область определения функции .
при , то есть при ;
;
.
Значит – единственная точка возможного перегиба, которая разбивает на три интервала: , и .
Определим знак в каждом из этих интервалов по знаку для произвольной точки из соответствующего интервала:
-
х
+
+
0
–
у
При график функции вогнутый, а при – выпуклый.
При переходе через точку меняет знак, значит график функции имеет перегиб в точке .
, .
Точка – точка перегиба графика функции .
Функция непрерывна на своей области определения, то есть при .
В точке функция не определена, а значит имеет разрыв.
Предел слева ,
предел справа ,
значит – точка разрыва 2-го рода.
Исследуем функцию на наличие у её графика асимптот.
Прямая является вертикальной асимптотой графика функции , так как – точка разрыва 2-го рода.
Проверим наличие у графика функции невертикальных (наклонных, горизонтальных)
асимптот вида , где , .
;
,
следовательно, прямая , то есть прямая , совпадающая с осью , является горизонтальной асимптотой графика функции .
Строим график функции , нанеся предварительно на плоскость найденные точки , и , а также асимптоты – прямую , совпадающую с осью , и прямую , совпадающую с осью .
Кроме того, возьмём для уточнения дополнительную точку:
, тогда . Точка .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-5 |
|
-4 |
|
-3 |
|
-2 |
|
-1 |
|
О |
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
Х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
КОНТРОЛЬНУЮ РАБОТУ № 2 ВАРИАНТ 10 – можно приобрести за отдельную плату.
Цена 500 рублей.
Оплата принимается через webmoney и яндекс.деньги
(т.е. электронными деньгами или через терминалы связи)
Для покупки обращайтесь – vzfeiextra@yandex.ru
КР №2, Вар 10 (Демо версия)
Задача № 1
Найти неопределённый интеграл: .
Решение.
Сделаем замену переменной: .
Тогда , откуда ……
Задача № 2
Вычислить определённый интеграл .
Решение.
Сделаем замену переменной: . .
Тогда , …
Задача № 3
Вычислить определённый интеграл .
Решение.
Воспользуемся формулой интегрирования по частям, взяв….
Задача № 4
Решить дифференциальное уравнение: .
Решение.
Заданное уравнение является дифференциальным уравнением первого порядка…..
Задача № 5
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , .
Решение.
Найдём точки пересечения параболы и прямой , для чего
решим систему их уравнений: …
Задача № 6
Экспериментальные данные о значениях переменных х и у приведены в таблице:
|
1 |
1,5 |
2 |
2,5 |
3 |
|
2,2 |
3,9 |
5,8 |
8,8 |
12,3 |
В результате их выравнивания получена функция . Используя метод наименьших квадратов, аппроксимировать эти данные линейной зависимостью (найти параметры a и b). Выяснить, какая из двух линий лучше (в смысле метода наименьших квадратов) выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертёж.
Решение.
В соответствии с методом наименьших квадратов искомая линейная зависимость имеет уравнение , где…