Контрольная работа по математическом анализу для ВЗФЭИ по методическим указаниям 2009 года. Выполнено авторским коллективом ООО «Взфэи-архив.рф» © 2010. Avzfei.ru. Авторские права на данную работу зарегистрированы Российским авторским обществом КОПИРУС совместно с Федеральным государственным учреждением Российская государственная библиотека - РГБ.
© ООО «ВЗФЭИ-АРХИВ.РФ», 2010
Электронная версия данного текстовой работы предназначена исключительно для ознакомления. Незаконное распространение, публикация (в том числе и на интернет-ресурсах), передача третьим лицам текста данной работы, либо фрагментов текста данной работы без прямой цитаты и согласования с правообладателем преследуется по закону, а лица виновные в данных правонарушениях несут ответственность, предусмотренную главой 4 Гражданского Кодекса РФ.
Если Вы обнаружили данную работу на каком-либо сайте, кроме avzfei.ru, взфэи.su, взфэи-архив.рф – немедленно сообщите об этом на адрес электронной почты: vzfeiextra@ya.ru – Вознаграждение сообщившему гарантируется!
Вариант 2
Задача № 1
По
формулам Крамера решить систему линейных
уравнений
Решение.
Найдём определитель системы:
.
,
следовательно, система имеет единственное
решение, которое можно найти по формулам
Крамера:
,
,
.
;
;
.
;
;
.
Таким образом,
– решение заданной системы.
Ответ:
,
,
.
Задача № 2
Найти
предел
.
Решение.
Имеем неопределённость
вида
.
Для раскрытия
этой
неопределённости умножим и разделим
выражение в скобках на сопряжённое
выражение
:
Получили
неопределённость
вида
.
Для раскрытия этой неопределённости
вынесем за скобки в числителе и в
знаменателе дроби наивысшую степень
аргумента, то есть
,
а затем сократим дробь:
,
так как
при
и
.
Ответ: 0,5.
Задача № 3
Найти
производную функции
.
Решение.
Воспользуемся свойствами производной:
,
,
,
и
,
где
– константа, а также таблицей
производных:
,
,
,
,
,
где С – константа.
.
Ответ:
.
Задача № 4
Какую наибольшую площадь может иметь прямоугольный треугольник, сумма квадратов катетов которого равна 18?
Решение.
Обозначим через
и
катеты прямоугольного треугольника.
По условию сумма квадратов треугольника
равна 18, то есть
.
Выражая из последнего равенства
,
получаем:
;
.
Очевидно,
,
следовательно,
.
Площадь данного прямоугольного
треугольника равна произведению длин
катетов этого треугольника:
.
Область
определения функции
:
;
;
;
;
.
Исследуем на экстремум функцию
площади прямоугольного треугольника.
Определим точки возможного экстремума,
то есть точки из
,
в которых производная
либо не существует.
.
существует при всех
,
то есть при
.
при
,
то есть при
;
;
;
.
.
Значит
– единственная точка возможного
экстремума, которая разбивает
на два интервала:
и
.
Определим знак в каждом из этих интервалов по знаку для произвольной точки из соответствующего интервала:
-
3
+
0
–
Функция
возрастает при
и убывает при
.
При переходе через точку меняет знак, значит функция имеет экстремум в точке .
При переходе через точку меняет знак с «+» на «–», значит является точкой максимума функции.
,
(кв. ед.).
Таким образом, наибольшую площадь
(кв. ед.) имеет прямоугольный треугольник
с катетами
и
,
сумма квадратов катетов которого равна
18.
Ответ: прямоугольный треугольник, сумма квадратов катетов которого равна 18, будет иметь наибольшую площадь 9 (кв. ед.), если его катеты равны соответственно 3 и 3.
Задача № 5
Составить уравнения касательных к
графику функции
,
проведённых в точках её пересечения
с прямой
.
Сделать чертёж.
Решение.
Найдём точки пересечения параболы
и прямой
,
для чего
решим систему их уравнений:
;
;
;
,
.
Итак, парабола
и прямая
пересекаются в двух точках:
и
.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-8 |
|
-6 |
|
-4 |
|
-2 |
|
О |
|
2 |
|
4 |
|
6 |
|
8 |
|
|
Х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение касательной к кривой
в точке
имеет вид
.
Найдём
:
.
;
.
Уравнение касательной к кривой в точке имеет вид:
;
;
;
.
Уравнение касательной к кривой в точке имеет вид:
;
;
;
.
Таким образом, касательные, проведённые
к графику функции
,
в точках её пересечения с прямой
,
имеют уравнения
и
.
Ответ: и .