Контрольная работа по математическом анализу для ВЗФЭИ по методическим указаниям 2008 года. Выполнено авторским коллективом ООО «Взфэи-архив.рф» © 2010. Avzfei.ru. Авторские права на данную работу зарегистрированы Российским авторским обществом КОПИРУС совместно с Федеральным государственным учреждением Российская государственная библиотека - РГБ.
© ООО «ВЗФЭИ-АРХИВ.РФ», 2010
Электронная версия данного текстовой работы предназначена исключительно для ознакомления. Незаконное распространение, публикация (в том числе и на интернет-ресурсах), передача третьим лицам текста данной работы, либо фрагментов текста данной работы без прямой цитаты и согласования с правообладателем преследуется по закону, а лица виновные в данных правонарушениях несут ответственность, предусмотренную главой 4 Гражданского Кодекса РФ.
Если Вы обнаружили данную работу на каком-либо сайте, кроме avzfei.ru, взфэи.su, взфэи-архив.рф – немедленно сообщите об этом на адрес электронной почты: vzfeiextra@ya.ru – Вознаграждение сообщившему гарантируется!
Вариант 10
Задача № 1
Найти матрицу ●· , где , .
Решение.
Для матрицы транспонированной является матрица
.
Число столбцов матрицы (равно 4) равно числу строк матрицы , то есть матрица согласована с матрицей , следовательно определено произведение .
Произведением матрицы размера на матрицу размера называется такая матрица размера , каждый элемент которой равен сумме произведений элементов -ой строки матрицы на соответствующие элементы -го столбца матрицы :
, ; .
В нашем случае
.
Найдём матрицу , где – единичная матрица:
.
Ответ: .
Задача № 2
Найти предел .
Решение.
Имеем неопределённость вида .
Функции и дифференцируемы в некоторой окрестности точки , причём . Воспользуемся правилом Лопиталя:
Снова воспользуемся правилом Лопиталя:
.
Ответ: .
Задача № 3
Найти производную функции .
Решение.
Воспользуемся свойствами производной:
, , ,
и , где – константа, а также таблицей
производных: , , , , где С – константа.
.
Ответ: .
Задача № 4
Требуется изготовить открытый цилиндрический бак ёмкостью 1000 см3. При каком радиусе основания на изготовление бака уйдёт наименьшее количество материала?
Решение.
Обозначим:
– радиус основания цилиндра (бака),
– высоту цилиндра (бака).
Объём бака .
По условию (см3), откуда ;
.
Боковая поверхность бака (цилиндра)
(см2).
Площадь основания цилиндра (дна бака) (см2).
Следовательно, площадь поверхности бака .
Область определения функции : .
Исследуем на экстремум функцию площади поверхности бака.
Определим точки возможного экстремума, то есть точки из , в которых производная либо не существует.
.
существует при всех , то есть при .
при , то есть при ;
;
;
;
.
. Значит – единственная точка возможного экстремума, которая разбивает на два интервала: и .
Определим знак в каждом из этих интервалов по знаку для произвольной точки из соответствующего интервала:
-
–
0
+
Функция убывает при и возрастает при .
При переходе через точку меняет знак, значит функция имеет экстремум в точке .
При переходе через точку меняет знак с «–» на «+», значит является точкой минимума функции.
,
(см2).
Таким образом, наименьшую площадь поверхности (наименьшее количество материала) (см2) имеет бак, радиус основания которого (см).
Ответ: чтобы на изготовление открытого цилиндрического бака ёмкостью 1000 см3 ушло наименьшее количество материала, радиус основания этого бака должен быть (см).
Задача № 5
Составить уравнения касательных к графику функции y=(2x+5)/(x+2) , перпендикулярных прямой, проходящей через точки (0;3) и (1;7) и . Сделать чертёж.
Решение.
Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки плоскости и
имеет вид: .
Воспользовавшись этой формулой, найдём уравнение прямой, проходящей через точки и :
; ; ;
– уравнение прямой, проходящей через точки и .
Угловой коэффициент прямой найдём, записав полученное уравнение в виде уравнения прямой с заданным угловым коэффициентом:
, откуда .
Воспользуемся условием перпендикулярности двух прямых, заданных уравнениями и .
Пусть – угловой коэффициент искомых касательных к кривой .
Поскольку искомые касательные к гиперболе перпендикулярны прямой , получаем: .
Итак, угловой коэффициент искомых касательных .
С другой стороны, угловой коэффициент искомых касательных к гиперболе в точке равен .
Найдём : ;
.
Таким образом, и , откуда ;
;
;
или ;
.
Соответственно при получаем: ; ,
а при получаем: ; .
Значит искомые касательные – это касательные графику функции в точках и .
Уравнение касательной к кривой в точке имеет вид .
Уравнение касательной к гиперболе в точке имеет вид:
;
;
.
Уравнение касательной к гиперболе в точке имеет вид:
;
;
.
Таким образом, касательные, проведённые к графику функции , перпендикулярные прямой, проходящей через точки и , имеют уравнения и .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-8 |
|
-6 |
|
-4 |
|
-2 |
|
О |
|
2 |
|
4 |
|
6 |
|
8 |
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: и .