Лекция №23 Ряды Фурье (продолжение)

Исследуем достаточные условия сходимости тригонометрического ряда Фурье. Для этого определим следующий класс функций.

2-периодическую функцию назовём кусочно-непрерывно-дифференцируемой, если тор, или период, можно разбить на конечное число дуг или отрезков, на каждой из которых функция является непрерывно дифференцируемой.

Функция называется кусочно-непрерывно-дифференцируемая, если она кусочно-непрерывно-дифференцируемая и непрерывна на всём периоде.

непрерывная кусочно-дифференцируемая функция

Теорема. Тригонометрический ряд Фурье непрерывной кусочно-непрерывной дифференцируемой функции сходится к ней равномерно.

Доказательство. Для простоты рассмотрим случай

Выразим коэффициенты Фурье функцииf через коэффициенты её производной, и для доказательства равномерной сходимости воспользуемся признаком Вейерштрасса. Т.к. из равномерной сходимости вытекает среднеквадратичная, а тригонометрический ряд Фурье в среднеквадратичном сходится именно к функции, то он будет равномерно сходится к этой функции.

Имеем:

Итак,

Далее

и по признаку Вейерштрасса тригонометрический ряд Фурье сходится равномерно.

Доказано.

Построим суммы к бесконечным частичным суммам ряда Фурье, но обладающие свойством равномерной сходимости для произвольной непрерывной функции. Определим эти суммы следующим образом:

суммы Фейера (по имени Л. Фейера), являющиеся тригонометрическим полиномом порядка п, в интегральном представлении которых участвует ядро, называемое ядром Фейера.

Другая запись ряда Фейера имеет вид:

разрыв

Пример 1. Ряд расходится,

Пример 2. «скорость» приближения функции.

Лекция №24 Ряды Фурье (продолжение)

Проверим, что для сумм Фейера выполнены оба условия в теореме Банаха-Штейнгауза. Это будет означать, что сумма Фейера равномерно сходится к любой непрерывной функции. Имеем:

1. ограничены;

2. сходимость на плотном множестве тригонометрических полиномов. Достаточно проверить сходимость и

Аналогично доказывается равномерная сходимость для

Предложим и другие доказательство равномерной сходимости сумм Фейера.

Теорема.

Доказательство. Имеем:

1. равномерно непрерывна и ограничена, т.е. Т – тор, компактное множество.

Имеем:

2. 

и для этих п будет

Окончательно,

Доказано.

Следствием этой теоремы является теорема Вейерштрасса о возможности равномерного приближения любой непрерывной периодической функции тригонометрическими полиномами. Эта теорема была сформулирована при доказательстве замкнутости в среднеквадратичном тригонометрической системы.

В качестве следствия из этой теоремы можно получить и другую теорему Вейерштрасса.

Теорема Вейерштрасса. Множество алгебраических многочленов плотно в пространстве Это означает, чтонекоторой степени, такой, что

Лекция №25 Ряды Фурье (продолжение).

6. Теорема Вейерштрасса-Стоуна

Пусть компактное множество,множество всех непрерывных функций наК, непрерывна, если

Пространство являетсяполным линейным нормированным пространством с нормой

Множество назовём плотным весли

Подмножество назовёмалгеброй, если будет:

1. (замкнуто относительно суммы);

2. (замкнуто относительно произведения);

3. 

Примерами алгебр являются множества всех алгебраических многочленов Р, множество всех тригонометрических полиномов M.

Будем говорить, что алгебра А разделяет точки компакта К, если АлгебрыР и M разделяют точки своих компактов.

Будем говорить, что алгебра не исчезает ни в одной точке компакта К, если АлгебрыР и M не исчезают ни в одной точке.

Теорема Вейерштрасса-Стоуна. Любая алгебра разделяющая точки компактаК и не исчезающая ни в одной точке компакта К, образует плотное множество в

Примем без доказательства.

По аналогии с многочленами от одной переменной можно определить многочлены от п переменных как конечные линейные комбинации функций вида Такая функция называетсямамоном. Мамон является многочленом степени Степенью произвольного многочлена называют наибольшую степень мамона, входящую в этот многочлен.

Пример. Степень многочлена равна 3, т.е. это мамон 3-ей степени.

Показать самостоятельно, что эта алгебра разделяет точки произвольного компакта и не исчезает ни в одной точке компактаК. Поэтому из теоремы Вейерштрасса-Стоуна сразу получаем, что плотно в

Задача. Пусть Показать, чтоА – алгебра и найти необходимое и достаточное условие, чтобы эта алгебра разделяла точки отрезка и не исчезала ни в одной точкет.е. была бы плотна в пространстве

Алгебра А разделят точки тогда и только тогда, когда функция строго монотонна на Действительно, еслинапример, строго возрастающая, то

Следовательно,

Если не является строго монотонной, тов которых функция принимает одинаковые значения. Тогдаи точкиине разделяются.

Убедимся на примерах, что в теореме Вейерштрасса-Стоуна оба дополнительных условия являются важными.

Пример 1. Укажем алгебру в пространстве не разделяющую точки и не плотную вТакая алгебра может быть выбрана как подалгебраР. Тривиальный пример – константы. Менее тривиальный пример – множество всех чётных многочленов Это множество не является плотным в пространстве

Пример 2. Укажем алгебру (подалгебру) многочленов на исчезающую в некоторой точке. В качестве такой алгебры можно взять множество всех нечётных многочленов

Все эти функции исчезают в нуле, и эти функции не приближают т.к.