- •III осенний семестр Лекция №1 Числовые ряды
- •Лекция №2 Сходимость положительных рядов
- •Лекция №3 Сходимость положительных рядов (продолжение)
- •Лекция №4 Сходимость положительных рядов (продолжение)
- •Ряды с членами произвольного знака
- •Лекция №5 Ряды вида
- •Лекция №6 Перестановки числовых рядов
- •Лекция №6 Перестановки числовых рядов (продолжение)
- •Лекция №8 Умножение рядов (продолжение)
- •Двойные ряды
- •Лекция №9 Двойные ряды (продолжение)
- •Бесконечные произведения
- •Лекция №10 Бесконечные произведения (продолжение)
- •Лекция №11 Функции, представляющиеся в виде бесконечных произведений
- •Функциональные последовательности и ряды
- •Лекция №12 Функциональные последовательности и ряды (продолжение)
- •Лекция №13 Функциональные последовательности и ряды (продолжение)
- •Лекция №14 Свойства предельной функции и сумма функционального ряда в случае равномерной сходимости
- •Лекция №15 Пространства и сходимость в них
- •Степенные ряды
- •Лекция №16 Степенные ряды (продолжение)
- •Лекция №17 Разложение функций в степенные ряды
- •Лекция №18 Ряды Фурье
- •Лекция №19 Ряды Фурье (продолжение)
- •Лекция №20-21 Ряды Фурье (продолжение)
- •Лекция №22 Ряды Фурье (продолжение)
- •Лекция №23 Ряды Фурье (продолжение)
- •Лекция №24 Ряды Фурье (продолжение)
- •Лекция №25 Ряды Фурье (продолжение).
- •Лекция №26 Поточечная сходимость тригонометрического ряда Фурье
- •Лекция №27 Поточечная сходимость тригонометрического ряда Фурье (продолжение)
- •Лекция №28 Собственные интегралы, зависящие от параметра
- •Несобственные интегралы, зависящие от параметра
- •Лекция №29 Несобственные интегралы, зависящие от параметра (продолжение)
- •Лекция №30 Свойства несобственных интегралов, зависящих от параметра
- •Свойства гамма-функции
- •Лекция№31 Преобразование Фурье
- •Разложение в ряд Тейлора-Маклорена некоторых элементарных функций
Лекция №18 Ряды Фурье
1. Отдельные точки Евклидова пространства интегрируемости функций, ортогональные системы в нём.
Пусть линейное пространство интегрируемых по Риману на отрезке [a, b] функций. В нём можно определить скалярное произведение: удовлетворяющее следующим аксиомам скалярного произведения:
(нулевая функция – функция, принимающая нулевые значения в точках непрерывности и возможно положительные значения в точках разрыва, мера которых равна нулю, т.е. нулевая функция – это не одна, а целый класс функций).
Линейное пространство со скалярным произведением называется Евклидовым пространством. Евклидово пространство можно рассматривать как нормированное, в котором норма определяется по правилам: Для такого отображения выполнены все аксиомы нормы:
неравенство треугольника, и оно легко выводится из неравенства Коши-Буняковского
В свою очередь неравенство Коши-Буняковского позволяет определить и угол между функциями: В частностиНорма позволяет определить расстояние между функциями и сходимость последовательности функций:Такую сходимость называютсреднеквадратичной сходимостью
Сравним равномерную сходимость и среднеквадратичную сходимости на отрезке [a, b]; из равномерной сходимости вытекает среднеквадратичная сходимость:
Обратное неверно.
равномерной сходимости нет.
Пространство является бесконечномерным. В нём линейно-независимую систему, например, образуют функции(система степеней).
Задача. Охарактеризовать мощность пространства
Счётная система функций называется ортогональной, еслии ортонормированное, если система ортогональная и нормированная, т.е.. Далее будем обозначать ОС – ортогональная система, ОНС – ортонормированная система.
Задача о наилучшем среднеквадратичном приближении функции по ОНС.
Пусть ОНС. Линейные комбинации видабудем называтьполиномами порядка n по этой ОНС. Множество всех таких полиномов порядка n будет образовывать линейное подпространство размерностип, т.е. , с базисом
Задача. Доказать, что ОНС – линейно-независимая система.
Для величинаназывается величиной наилучшего среднеквадратичного приближения функцииf полиномами порядка п по нашей ОНС. Полином называется полиномом наилучшего среднеквадратичного приближения.
Лекция №19 Ряды Фурье (продолжение)
Теорема. причём
Доказательство. ОНС,
Итак, единственен.
Доказано.
Если ОНС,то функциональный рядназываетсярядом Фурье функции f по ортогональной системе а коэффициенты этого ряда называютсякоэффициентами Фурье.
Частичные суммы ряда Фурье обладают экстремальным свойством: они являются Полинами наилучшего среднеквадратичного приближения:
Итак, каждой функции из можно поставить в соответствие её ряд Фурье.
Какое отношение этот ряд Фурье имеет к функции?
Когда этот ряд в среднеквадратичном сходится к функции: Ответы на эти вопросы зависят от свойств ОНС.
Имеем:
неравенство Бесселя.
ОНС называетсябазисом в еслиеё ряд Фурье в среднеквадратичной форме сходится к ней, т.е. можно записать равенство
ОНС называется замкнутой в если множество всех полиномов по система плотно вотносительно среднеквадратичной сходимости, т.е.:
ОНС называется полной в если не существует вненулевой функции, ортогональной всем функциям системы.
ОНС удовлетворяет равенству Парсеваля, если равна сумме квадратов коэффициентов Фурье, т.е.
Теорема. Все четыре условия на ОНС – равносильные.
Мы докажем более слабый вариант теоремы: является базисом тогда и только тогда, когда она замкнута. И в случае базиса выполняется неравенство Парсеваля.
Доказательство. Необходимость.
Достаточность.
Неравенство Парсеваля:
Доказано.
Для ортогональной системы и необязательно нормированной системы ряд Фурье, коэффициенты ряда Фурье и равенство Парсеваля выглядят следующим образом:
ряд Фурье, у которого коэффициенты Фурье имеют вид: равенство Парсеваля.