Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Лекции по математическому анализу.doc
Скачиваний:
139
Добавлен:
01.05.2014
Размер:
3.08 Mб
Скачать

Лекция №30 Свойства несобственных интегралов, зависящих от параметра

Теорема 1. Если сходится равномерно на отрезкето

Доказательство. сходится равномерно на (из определения равномерной сходимости по Гейне)(из теоремы о равномерном пределе последовательности непрерывных функций)

Доказано.

Теорема 2. Если сходится равномерно на отрезкетои

Доказательство. сходится равномерно на отрезке

(по теореме об интегрируемости собственных интегралов) =

Доказано.

Теорема 3. Если

  1. сходится;

  2. сходится равномерно на то

Доказательство. сходится равномерно на

Доказано.

Свойства гамма-функции

Лемма 1.

Доказательство. По формуле Эйлера

Доказано.

Лемма 2. Для

Доказательство. Сделаем замену тогда

Доказано.

Теорема 4. (*)

Доказательство.

1. Т.к.

2.

Из этого представления равенство (*) будет вытекать тогда и только тогда, когда

3. Введём вспомогательные неравенства.

(неравенство Бернулли).

Докажем это неравенство методом математической индукции.

При равенство очевидно.

верно.

4. Докажем, что

Докажем, что неравенство из (3) при

Оценим снизу:

Оценка сверху:

Итак,

и по теореме «о двух милиционерах»

Доказано.

Лемма 3. (подробнее это изучается в курсе теории функций комплексного переменного ТФКП).

Лемма 4. нецелого справедливо следующая формула дополнения В частности, при

Доказательство. Имеем по формуле Эйлера

Доказано.

Задача. Вычислить

Лекция№31 Преобразование Фурье

Пусть дана функция несобсттвенный интеграл от функциипо всей прямой абсолютно сходящийся в смысле Коши. Главное значение

Рассмотрим несобственный интеграл, зависящий от параметра.

называемый преобразованием Фурье функции (Это и есть аналог коэффициентов Фурье в периодическом случае.)

Лемма 1. Если и интегралабсолютно сходящийся по Коши, то

Доказательство. По соответствующей теореме достаточно проверить равномерную сходимость преобразования Фурье на множестве действительных чисел, т.к.

Воспользуемся признаком равномерной сходимости Вейерштрасса:

сходится. Значит, преобразование Фурье сходится равномерно.

Доказано.

Лемма 2. Если то

Доказательство. Также воспользуемся соответствующей теоремой; проверим следующие условия:

  1. непрерывность:

  2. равномерная сходимость (признак Вейерштрасса):

Следствие. Если сходится, то

Иногда испоьзуют и действительную форму преобразования Фурье, тогда появляется косинус-преобразование Фурье:

и синус-преобразование Фурье:

Тогда обычное преобразование Фурье есть обычная их комбинация:

Лемма 3. если

Доказательство.

Доказано.

Следствие. если

Например, в уравнение теплопроводности удобно перейтикпо переменнойt:потом функцию необходимо восстановить.

Сама функция по её преобразованию Фурье восстанавливается с помощью обратного преобразования Фурье: аналогичное тригонометрическому ряду Фурье.

Частичные интегралы – аналог сумм: И вопрос состоит в следующем: сходится липри

Различабт сходимости среднеквадратичную: и поточечную: в точкеи равномерную:

Пример. Найти преобразование Фурье функции

Замечание. Часто преобразование Фурье определяют формулой

тогда обратное преобразование Фурье имеет вид:

Справедливы следующие утверждения.

Теорема 1. Еслиабсолютно интегрируема нато

Теорема 2. Еслиабсолютно интегрируема наи кусочно-непрерыно-дифференцируема нато

Теорема 3. Еслиабсолютно интегрируема наикусочно-непрерывно-дифференцируема нато имеет место равномерная сходимость

Вопросы по курсу математического анализа за III осенний семестр

    1. Числовой ряд. Определение сходимости. Необходимое условие сходимости. Свойства сходящихся рядов.

    2. Критерий сходимости положительного ряда.

    3. Признак сравнения в форме неравенств.

    4. Признак сравнения в предельной форме.

    5. Обобщённый признак сравнения.

    6. Признак Даламбера.

    7. Радикальный признак Коши.

    8. Признак Раббе.

    9. Признак Гаусса.

    10. Признак Коши с монотонными членами.

    11. Интегральный признак Коши.

    12. Абсолютно сходящиеся ряды. Признак абсолютной сходимости.

    13. Условно сходящиеся ряды. Признак Лейбница для знакочередующихся рядов.

    14. Преобразование Абеля. Признак Абеля.

    15. Преобразование Абеля. Признак Дирихле.

    16. Теорема Римана для условной сходящихся рядов.

    17. Критерий безусловной сходимости числового ряда.

    18. Сходимость сгруппированного ряда.

    19. Умножение числовых рядов. Теорема Коши об умножении абсолютно сходящихся рядов.

    20. Формальное произведение числовых рядов. Теоремы Мертенса и Абеля.

    21. Двойные числовые суммы. Различные определения сходимости. Необходимые условия сходимости. Критерий сходимости для положительных рядов.

    22. Двойные числовые ряды. Различные определения сходимости. Случай абсолютной сходимости.

    23. Бесконечные произведения. Определение сходимости. Необходимое условие сходимости. Случай абсолютной сходимости.

    24. Бесконечные произведения. Признак абсолютной сходимости.

    25. Сходимость бесконечного произведения в зависимости от сходимости рядов

    26. Гамма-функция, область определения.

    27. Гамма-функция и формула Эйлера.

    28. Гамма-функция, основное тождество.

    29. Область поточечной сходимости функциональной последовательности, функционального ряда.

    30. Равномерная сходимость функциональной последовательности и функционального ряда. Критерий Коши.

    31. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда.

    32. Признак Абеля равномерной сходимости функционального ряда.

    33. Признак Дирихле равномерной сходимости функционального ряда.

    34. Равномерная сходимость функциоанльной последовательности и непрерывность предельной функции.

    35. Равномерная сходимость функционального ряда и непрерывность его сумм.

    36. Нормированное пространство сходимость в нём, его полнота.

    37. Равномерная сходимость функциональной последовательности и интегрируемость предельной функции.

    38. Равномерная сходимость функционального ряда и интегрируемость его суммы.

    39. Равномерная сходимость и дифференцируемость предельной суммы.

    40. Равномерная сходимость функционального ряда и дифференцируемость его суммы.

    41. Нормированные пространства сходимость в нём, его полнота.

    42. Интервал и радиус сходимости степенного ряда. Формула Коши-Адамара. Область поточечной сходимости степенного ряда.

    43. Область равномерной сходимости степенного ряда.

    44. Свойства суммы степенного ряда в интервале сходимости.

    45. Ряд Тейлора и его единственность.

    46. Критерий сходимости ряда Тейлора. Достаточное условие сходимости ряда Тейлора.

    47. Ряд Тейлора-Маклорена для элементарных функций.

    48. Евклидово пространство интегрируемых функций. Среднеквадратичная сходимость, связь с равномерной сходимостью. Ортогональные и ортонормированные системы функций (ОС и ОНС).

    49. Задача о наилучшем среднеквадратичном приближении интегрируемой функции полиномами по ОНС.

    50. Ряд Фурье по ОНС. Базисность, замкнутость, полнота и равенство Парсеваля для ОНС.

    51. Ряд Фурье интегрируемой функции по ОС. . Базисность, замкнутость, полнота и равенство Парсеваля для ОС.

    52. Ортогональность тригономнтрической системы тригонометрического ряда Фурье периодической функции и функций с периодомКомплексная форма тригонометрического ряда Фурье.

    53. Замкнутость тригонометрической системы. Среднеквадратичная сходимость ряда Фурье, равенство Парсеваля. Величина наилучшего среднеквадратичного приближения.

    54. Теорема Банаха-Штейнгауза в задаче о равномерной сходимости тригонометрического ряда Фурье. Константа Лебега.

    55. Равномерная сходимость сумм Фейера.

    56. Первая теорема Вейерштрасса.

    57. Вторая теорема Вейерштрасса.

    58. Алгебра функций в пространстве Теорема Вейерштрасса-Стоуна.

    59. Равномерная сходимость тригонометрического ряда Фурье непрерывной кусочной непрерывно-дифференцируемой функции.

    60. Равномерная сходимость к нулю интегралов вида на периоде.

    61. Преобразование частичной суммы тригонометрического ряда Фурье.

    62. Принцип локализации Римана.

    63. Поточечная сходимость тригонометрического ряда Фурье кусочной непрерывно-дифференцируемой функции.

    64. Непрерывность собственного интеграла, зависящего от параметра.

    65. Интегрируемость собственного интеграла, зависящего от параметра.

    66. Дифференцируемость собственного интеграла, зависящего от параметра.

    67. Равномерная сходимость несобственного интеграла, зависящего от параметра. Критерий Коши. Признак Вейерштрасса.

    68. Признаки Абеля и Дирихле равномерной сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра.

    69. Непрерывность несобственного интеграла, зависящего от параметра.

    70. Интегрируемость несобственного интеграла, зависящего от параметра.

    71. Дифференцируемость несобственного интеграла, зависящего от параметра.

    72. Вычисление интеграла Дирихле.

    73. Интегральное представление гамма-функции.

    74. Разложение в бесконечное произведение.

    75. Формула дополнения для гамма-функции

    76. Формула Стирлинга для гамма-функции

    77. Бета-функция. Её связь с гамма-функцией.

    78. Преобразование Фурье функции. Косинус- и синус-преобразование Фурье. Понятие обратного преобразования Фурье.

    79. Преобразование Фурье производной.

    80. Дифференцирование преобразование Фурье.