- •III осенний семестр Лекция №1 Числовые ряды
- •Лекция №2 Сходимость положительных рядов
- •Лекция №3 Сходимость положительных рядов (продолжение)
- •Лекция №4 Сходимость положительных рядов (продолжение)
- •Ряды с членами произвольного знака
- •Лекция №5 Ряды вида
- •Лекция №6 Перестановки числовых рядов
- •Лекция №6 Перестановки числовых рядов (продолжение)
- •Лекция №8 Умножение рядов (продолжение)
- •Двойные ряды
- •Лекция №9 Двойные ряды (продолжение)
- •Бесконечные произведения
- •Лекция №10 Бесконечные произведения (продолжение)
- •Лекция №11 Функции, представляющиеся в виде бесконечных произведений
- •Функциональные последовательности и ряды
- •Лекция №12 Функциональные последовательности и ряды (продолжение)
- •Лекция №13 Функциональные последовательности и ряды (продолжение)
- •Лекция №14 Свойства предельной функции и сумма функционального ряда в случае равномерной сходимости
- •Лекция №15 Пространства и сходимость в них
- •Степенные ряды
- •Лекция №16 Степенные ряды (продолжение)
- •Лекция №17 Разложение функций в степенные ряды
- •Лекция №18 Ряды Фурье
- •Лекция №19 Ряды Фурье (продолжение)
- •Лекция №20-21 Ряды Фурье (продолжение)
- •Лекция №22 Ряды Фурье (продолжение)
- •Лекция №23 Ряды Фурье (продолжение)
- •Лекция №24 Ряды Фурье (продолжение)
- •Лекция №25 Ряды Фурье (продолжение).
- •Лекция №26 Поточечная сходимость тригонометрического ряда Фурье
- •Лекция №27 Поточечная сходимость тригонометрического ряда Фурье (продолжение)
- •Лекция №28 Собственные интегралы, зависящие от параметра
- •Несобственные интегралы, зависящие от параметра
- •Лекция №29 Несобственные интегралы, зависящие от параметра (продолжение)
- •Лекция №30 Свойства несобственных интегралов, зависящих от параметра
- •Свойства гамма-функции
- •Лекция№31 Преобразование Фурье
- •Разложение в ряд Тейлора-Маклорена некоторых элементарных функций
Бесконечные произведения
Определение бесконечного произведения
Пусть положительная последовательность, т.е..
Формальная запись (1) называетсябесконечным произведением.
Будем говорить, что бесконечное произведение (1) – сходится, если гдепоследовательность частичных произведений. В противном случае произведение (1) – расходится.
Основная теорема. Бесконечное произведение (1) – сходится сходится (2).
Доказательство. (1) – сходится
(2) – сходится.
Доказано.
Пример. Исследовать сходимость ряда
Получаем сходится условно.
Исходный ряд сходится условно.
Бесконечное произведение (1) назовём абсолютно сходящимся, если сходится ряд . В противном случае (1) сходится условно. В предыдущем примере представлено условно сходящееся бесконечное произведение.
Лекция №10 Бесконечные произведения (продолжение)
Для дальнейшего удобно обозначить и рассматривать(3),(4),(5).
Теорема. Произведение (3) – сходится абсолютно (4) сходится абсолютно.
Доказательство. (3) сходится абсолютно сходится и в частности. Сравним рядыипри условии:для. Из этих неравенств вытекает, что эти ряды сходятся абсолютно.
Доказано.
Следствие: если в произведении (3) все bn, начиная с некоторого номера, имеют один и тот же знак, то сходимость произведения (3) эквивалентна сходимости ряда (4).
Пример. расходится.
Анализ этой теоремы показывает, что удобно использовать разложение .
Задача. Обозначим: «+» - сходится, «-» - расходится, и заполним следующую таблицу:
|
(4) |
(5) |
(3) |
1. |
+ |
+ |
+ |
2. |
+ |
- |
- |
3. |
- |
+ |
- |
4. |
- |
- |
? |
Доказательство 1. ,- сходятся
. Доказано.
Пример. сходится, т.к.сходится, норасходится.
Доказательство 2. Опять и из признака сравнения рядрасходится. Общий член есть сумма двух последовательностей – сходящейся и расходящейся, значит, рядрасходится, иначе рядбыл бы сходящимся как разность двух сходящихся рядов. Доказано.
Доказательство 3. Опять
И как в предыдущем случае ряд сходится.
Доказано.
Доказательство 4. Два примера:
“-”, “-” “-” ;
“-”, “-” “+”.
Ряд Частичная сумма порядка совпадает с частичной суммой гармонического ряда, т.е. ряд расходится.
расходится. Оба ряда расходятся.
Вычислим частичное произведение
т.к. произведение расходится по следствию:обобщённый гармонический ряд с показателемp = - сходится.
сходится к тому же числу, а значит и всё произведение сходится.
Доказано.
Лекция №11 Функции, представляющиеся в виде бесконечных произведений
Многие элементарные функции раскладываются в бесконечные произведения, например, . С помощью бесконечного произведения можно определять и новые функции, называемыеспиральными, например - функция (гамма-функция): константа Эйлера,. Проверим, что для всех указанныхS бесконечное произведение действительно сходится и определяет некоторую функцию. Проверим сходимость следующего ряда:
.
сходится .
Свойства - функции.
Формула Эйлера: .
Основное функциональное тождество для - функции:
В частности, .
Рассмотрим поведение n! для больших n:
формула Стирлинга
Доказательство 1.
Сравнивая (*) и (**), получим формулу Эйлера.
Доказано.
Доказательство 2. Рассмотрим отношение . По формуле Эйлера получаем:
Доказано.