Динамічні імовірнісні моделі з режимом безперервного контролю рівня запасів
У даному розділі викладений вище метод аналізу задачі визначення економічно оптимальних обсягів партій виробів, що замовляються, узагальнюється на випадок, коли попит носить стохастичний характер. Будемо розглядати час як безперервну перемінну; як і в попередніх моделях, витрати, пов’язані з реалізацією замовлення, та витрати на утримання запасів передбачаються стаціонарними:
(1)
h = Вартість утримання одного виробу
протягом одиничного відрізка часу, (2)
де К ≥ 0, с ≥ 0 та h ≥ 0. Будемо припускати, що заявки клієнтів, що надходять у моменти часу, коли запаси фірми дорівнюють нулю, відкладаються в портфель невиконаних замовлень і згодом задовольняються. Допустимо, що штрафні втрати π > 0 стаціонарні та пропорційні обсягу портфеля невиконаних замовлень за станом на момент прибуття замовленої партії виробів (тобто на момент чергового поповнення запасів). Задача полягає в мінімізації очікуваного значення середніх витрат за одиницю часу. Введемо наступні позначення:
М – очікуване число виробів, запитуваних клієнтами протягом одиничного відрізка часу;
L – інтервал попередження, тобто тривалість відрізка часу від моменту розміщення замовлення (3) до моменту одержання замовленої партії виробів;
МL – очікувана кількість одиниць виробів, викликана покупцями на відрізку L, при цьому передбачається, що значення L є фіксованим і заздалегідь відомим.
Оскільки „математичне чекання суми деяких величин завжди дорівнює сумі математичних чекань цих величин”:
ML = ML. (4)
Якщо L = 0 (замовлення виповнюється миттєво), то процедура аналізу формули (5) попереднього розділу потребує лише незначної модифікації. Якщо товар підлягає складуванню і значення критичного рівня s = 0, то отримані в попередньому розділі формули (7) для оптимальних значень Q та АС виявляються справедливими й у розглянутому нами випадку (якщо мати на увазі, що всі вартісні характеристики тепер розуміються „у сенсі їхніх середніх значень”). Це пояснюється тим, що при L = 0 імовірність виникнення випадків, коли приходиться йти на відстрочку виконання заявок, повністю виключається.
Якщо ж L > 0, ситуація докорінно міняється. Позначимо через g фактичний обсяг попиту в інтервалі між моментом розміщення замовлення і часом його виконання. Цей інтервал будемо називати інтервалом попередження. Значення випадкової перемінної g може перевершити s (тобто рівень наявних запасів на початку інтервалу попередження), так що можливою є ситуація, коли необхідно буде піти на відстрочку виконання замовлень. Як у таких випадках визначаються оптимальні значення Q та s?
Погодившись з тим, що оптимальні значення s та Q є взаємозалежними, можемо приступити до вивчення методу їхнього обчислення. Як правило, спочатку визначають вид цільової функції (тобто відповідного критерію ефективності); після цього оптимізують значення цільової функції шляхом належного вибору значень s та Q.
У зв’язку з побудовою критеріальної функції (критерію ефективності) будемо виходити з наступних припущень:
I) розподіл імовірностей для рівнів попиту на інтервалі попередження [позначимо цей розподіл через рL(qL)] не залежить від того, коли рівень запасів досягає свого критичного значення s;
II) рівень запасу i можна розглядати як безперервну перемінну;
III) після одержання чергового замовлення, що поповнює запаси, після закінчення деякого часу настає момент, коли i = s, отже, знову приймаються міри, спрямовані на поповнення запасів;
IV) Для оптимальної стратегії критичний рівень s > 0, і на будь-якому інтервалі попередження фактичний обсяг попиту не перевищує обсягу партії виробів, що замовляється, тобто qL ≤ Q.
Використовуючи чіткі математичні формулювання умов I) та III), можна довести, що на будь-якому часовому інтервалі Т розподіл імовірностей для рівнів попиту протягом Т повинен бути пуассонівським і характеризуватися єдиним параметром МТ, що дорівнює одночасно і середньому значенню попиту, і відповідній дисперсії. Стосовно до реальних процесів така умова виглядає надмірно жорстким. На практиці рідко мають місце випадки, коли середнє значення і дисперсія попиту збігаються за своїм значенням: найчастіше дисперсія в кілька разів перевищує середнє значення. Прийняті нами (винятково заради спрощення математичних викладень) постулати I) і III) дозволяють використовувати у всіх обчислювальних процедурах розподіл імовірностей p(q) зовсім довільного виду.
На закінчення можна відзначити, що розглянута модель, незважаючи на деяку внутрішню суперечливість, часто виявляється відмінним наближенням до дійсності.
Очікувані витрати. Розглянемо відрізок часу між двома послідовними оформленнями замовлень на постачання. Графіки на рис. 11.3 ілюструють дві можливі ситуації: випадок, коли фактичний обсяг попиту на інтервалі попередження менше критичного обсягу запасів (qL < s) та випадок, коли qL > s.