Моделі економічно вигідних розмірів замовлених партій
У даному розділі будемо виходити з припущень, що істотно відрізняються від тих, котрі постульовані були при побудові моделей статичного типу. Переходимо до розгляду ситуації, коли тривалість планового періоду не обмежена, і, таким чином, буде мати місце нескінченне число окремих поповнень запасів. Оскільки динамічний фактор значно ускладнює аналіз проблеми, для спрощення моделі будемо припускати, що попит можна точно прогнозувати й він рівномірно розподілений за часом; іншими словами, допустимо, що кількість виробів, запитуваних клієнтами протягом одиничного відрізка часу, дорівнює деякому фіксованому числу М. У таких випадках говорять, що має місце постійна норма попиту М.
У розглянутих нижче задачах, зв’язаних з визначенням оптимального розміру обсягу замовлення, як сам час, так і рівні запасів описуються безперервними перемінними. Помітимо, що це припущення різко контрастує з умовами, що були постульовані для більшості динамічних моделей, представлених у попередніх розділах. Внаслідок безперервності перемінних різні елементи моделі легко вдається відобразити графічно.
Припустимо знову, що М = 30, а стратегія поповнення запасів формулюється у вигляді наступного правила: кожного разу, коли рівень запасів стає нульовим, оформляється замовлення на постачання 45 виробів. Допустимо також, що запізнювання постачань (стосовно моменту оформлення замовлення) відсутній, тобто товари після того, як відповідна заявка зроблена, надходять на склад негайно. Тоді рівень наявних запасів як функцію часу можна представити геометрично у вигляді графіка (рис. 11.1).
Рис. 11.1. Пилкоподібний графік (s, S – стратегії поповнення
запасів. М – норма попиту; s – критичний рівень запасів;
S – обсяг запасів після чергового поповнення; Q = S – s – обсяг
замовлення на чергове постачання
Приведемо наступні характеристики розглянутої нами пилкоподібної моделі:
(I) з часом обсяг запасів від значення 45 одиниць безупинно убуває до нуля;
(II) швидкість убування запасів дорівнює 30 одиницям на тиждень, тобто збігається за своїм значенням з нормою попиту М;
(III) поповнення запасів здійснюється через кожні півтора тижня (S / M = 45 / 30 = 1,5).
Нехай витрати, пов’язані з поповненням запасів, складаються з накладних витрат К ≥ 0 і покупної вартості замовленої партії виробів, тобто:
(1)
де х – кількість виробів, що купляються; с – ціна одного виробу (с ≥ 0).
Припустимо, що витрати на утримання запасів є пропорційними обсягу складованих виробів, а також є лінійною функцією часу; вартість утримання одного виробу протягом одиничного відрізка часу (тижня) позначимо через h (h ≥ 0).
Нарешті, припустимо, що сенс оптимізації полягає в зведенні до мінімуму витрат на одиницю часу. Якщо вироби підлягають складуванню, то з урахуванням витрат на їхнє придбання і збереження можна одержати для середньої суми витрат на одиницю часу наступний вираз:
(2)
Кожна зі складових виразу (2) інтерпретується в такий спосіб:
1) KM / Q є середнім значенням накладних витрат на одиницю часу, оскільки M / Q – середнє число оформлень замовлень на одиницю часу;
2) оскільки попит покупців має бути задоволений повністю, в одиницю часу у фірми-постачальника закуповується у середньому М виробів, і, отже, відповідні витрати в середньому складають см;
3) при пилкоподібному поводженні рівня запасів (рис. 11.2) обсяг запасів характеризується позитивним значенням протягом (S / Q-ї частки планового періоду. Середній обсяг запасів протягом інтервалу часу, коли рівень запасів позитивний, дорівнює S / 2. Таким чином, добуток (S / Q) ∙ (S / 2) є середнім обсягом запасів, віднесеним до одиничного інтервалу часу, і, отже, відповідні витрати на збереження дорівнюють hS2 / 2Q.
Рис. 11.2. Пилкоподібний графік функції, що описує
(s, s)-стратегію поповнення запасів
Спочатку припустимо, що оптимум дійсно досягається при S = Q. Тоді:
(6)
Оптимальне значення Q знаходиться у результаті рішення рівняння, що виходить після прирівнювання нулю першої похідної АС по Q. У підсумку будемо мати наступні формули:
Оптимальне значення Q = (2KM / h)1/2,
Мінімальне значення АС = сМ + (2KhМ)1/2. (7)
Значення Q, одержане за допомогою приведеної вище формули часто називають економічно вигідним розміром партії, що замовляється, (ЕВРП), а саме співвідношення, що визначає оптимальне значення Q, іноді називають формулою Вілсона.
Аналіз ЕВРП на чутливість. Помітимо, що величина ЕВРП зростає повільніше, ніж у прямій пропорції до накладних витрат К та нормі попиту М, й убуває повільніше, ніж у зворотній пропорції до витрат на утримання запасів А. Наприклад, якщо М збільшується чотириразово, ЕВРП зростає лише вдвічі. Аналогічним чином легко переконатися, що при збільшенні вчетверо значення h значення ЕВРП зменшується тільки наполовину. Врахуємо, що тривалість часового інтервалу між послідовними оформленнями замовлення на постачання визначається наступною формулою:
Оптимальне
значення
(9)
Отже, по мірі зростання норми попиту М не тільки збільшується оптимальне значення Q, але й зменшується оптимальне значення Т, тобто замовлення на постачання виробу оформляються частіше.
Спробуємо показати, що на величині середнього значення витрат лише незначно позначається та обставина, що замість оптимального значення Q береться значення Q, тільки близьке до оптимального.
Допустимо, що
Фактичне значення Q = r ∙ (Оптимальне значення Q) =
= r (2KM / h)1/2,
де r > 0. Нехай перемінну складових витрат можна записати в наступному вигляді:
(11)
За допомогою (11) неважко перевірити, що
(12)
Штрафні втрати, пропорційні середньому обсягу заборгованості по постачаннях. Припустимо тепер, що втрати торгівельної фірми оцінюються за середнім значенням обсягу невиконаних замовлень на одиничному відрізку часу, тобто аналогічно тому, як оцінювалися витрати на утримання запасів. Звертаючись знову до графіка, приведеному на рис. 19.4, бачимо, що частка часу, протягом якого система функціонує в режимі дозволеної відстрочки виконання замовлень, дорівнює –s / Q, де критичний рівень s ≤ 0. Середній розмір портфеля незадоволених замовлень на відрізку часу, що характеризується негативним рівнем запасів, складає (–s / 2) виробів. Отже, середній обсяг незадоволених замовлень на одиничному відрізку часу дорівнює s2/ 2Q. Щоб визначити середнє значення штрафних втрат за одиницю часу, цю величину потрібно помножити на відповідний „штрафний” коефіцієнт, що для зручності порівняння з результатами, отриманими раніше, знову позначимо через π (>0). Однак варто мати на увазі, що показник π в розглянутій моделі має іншу інтерпретацію, ніж у попередньому випадку. Якщо говорити конкретніше, то варто помітити, що тепер π характеризує втрати фірми-постачальника, віднесені до одного виробу та до одиничного інтервалу часу, тоді як у розглянутому вище прикладі під π малося на увазі штраф за відстрочку постачання клієнтурі одного виробу поза залежністю від тривалості затримки замовлення. Знову скориставшись тотожністю S – s = Q, для того щоб виключити величину s, після деяких спрощень одержимо наступну формулу для середнього значення витрат на одиницю часу:
(14)
(У даному випадку немає ніякої необхідності розглядати в явному вигляді припущення про те, що значення π перевищує значення економічних показників, що характеризують інші види витрат).
Візьмемо тепер часткову похідну АС по S і дорівняємо її нулю. Після відповідних спрощень одержимо
(15)
Повторивши зазначені вище операції над Q і застосувавши (15) для того, щоб виключити S, одержимо наступні формули:
Оптимальне значення Q = (2КМ)1/2 (1 / h + 1 / h)1/2;
Оптимальне значення S = (2 КМ / h)1/2 (π / (h + π))1/2;
Оптимальне значення s = –(2КМ / π)1/2 (π / (h + π))1/2;
Мінімальні АС = cМ + (2KM)1/2 / (1 / h + 1 / π)1/2. (16)
З (16), зокрема, походить, що при обмеженому значенні π оптимальне значення Q більше оптимального значення Q у попередньому випадку; оптимальне значення S менше оптимального значення S у попередній моделі; критичний рівень s (s < 0) у (16) нижче відповідного значення s у попередньому випадку; мінімальні середні витрати в (16) менше мінімальних середніх витрат у (7). Лише у випадку, коли π→∞, значення перерахованих вище характеристик в обох варіантах моделі виявляються однаковими. Крім того, слід зазначити, що тільки при h→∞ оптимальним є рішення S = 0; однак навіть у цьому випадку Q та s приймають обмежені значення.