1. Поняття о симплексі

Симплексом низівається фігура вимірювань. Геометрично симплекс представляє собою найпростіший опуклий багатокутник даного числа вимірювань.

В правильном симплексі точки (вершини), які визначають симплекс, рівновіддалені один від одного. Іншими словами, правильний двумірний симплекс – рівносторонній трикутник, тривимірний симплекс представляє правильну трикутну піраміду и т.д.

В 1962 роцідля стадії крутого сходження було запропоновано симплекс планування(2). Вихідна серія дослідів планувалась таким чином, щоб точкі, які відповідають умовам дослідів, утворювали правильний симплекс у багатовимірному просторі. Після проведення серії дослідів виявляєтсья точка (дослід), яка відповідає умовам найгіршого досліду. Ця точка замінюється новою, яка представляє її зеркальне відображення відносно протилежної грані. Нова точка, разом із залишившимися точками старого симплексу, утворюють новий симплекс. У новому симплексі найгірша точка знову замінюється її дзеркальним відображенням. Після заміни утворюється новий симплекс и т.д. Центр тяжкості нового симплексу зміщується за лінією «найгірша точка» - центр важкості залишившихся точок. Сказане ілюструється на рис.6. Припустимо є 3 досліди, поставлені за наступних значень двох факторів:

Дослід	0,5	0,3
Дослід	-0,5	0,3
Дослід	0	-0,6

Нанесемо точки з кординатами, які відповідають значенням факторів, на графіку рис.6. На площині (двовимірний вимір) симплекс визначається рівностороннім трикутником з центром тяжкості в точці

Припустимо дослід - найгірший. Подумки повернемо трикутник навколо прямої , отримаємо дзеркальне відображення точки . Разом з залишившимися точками та отриман новий симплекс . З центром тяжкості . Якщо тепер виявиться, що найгірший дослід , то дзеркальним відображенням її буде точка . Центр тяжкості нового симплексу лежить на прямій , яка проходить через відкидну точку та центр тяжкості залишившихся точок та . У даному випадку центр тяжкості вихідного симплексу лежить на одній прямій з новим симплексом. Построхти дзеркальне відображення точки для даного найпростішого випадку не представляє труднощів. Однак при багатовимірному симплексі геометрична пбудова задачі неможлива. За правильного симплексу кординати «зеркальної» точки можуть буди визначені за простим правилом: нова координата дорівнює подвоєному середньому значенню координати залишившихся точок, мінус координати відкидної точки. Так для точки координати визначаються:

Аналогічно для точки :

Вказане правило справедливе незалежно віж багатовимірності симплексу. Відзначимо також, що побудова симплексу потребує тільки знань координат точок, відповідних умовам дослідів, та не потребує знань отриманих результатів за цими дослідами.

2. Загальний алгоритм методу

Симплекс-планування оптимальних експериментів робиться за простими правилами:

1. Скласти матрицю планування експериментів.

2. Поставити за нею досліди та заповнити робочу таблицю експериментів (построїти вихідний симплекс).

3. Вибрати із таблиці найгірший дослід та умовно викреслити його.

4. За оставшимися в таблиці дослідами розрахувати умову нового досліду та поставити його. Побудувати новий симплекс.

5. Якщо результат виявиться краще найгіршого досліду, який знаходиться в робочій таблиці (без ), дослід остаточно викреслити і замість нього помістити в таблицю дослід . Після цього вибрати наступний найгірший дослід , замінити його кращим дослідом і т.д. Процес вести до тієї пори, поки буде спостерігатися покращення результатів дослідів.

6. Якщо виявиться, що знов поставлений дослід за результатами не краще найгіршого досліду, який знаходитсья в таблиці (без ), то він (дослід ) не враховується, а дослід залишається в таблиці.В цьому випадку слід умовно викреслити наступний найгірший після досліду найгірший дослід і розрахувати умови нового досліду . Якщо повторно виявиться, що дослід не краще дослідів, які знаходитсья в таблиці (умовно викреслений дослід не враховуєтсья), то слід перевірити дослід, який був оцінений у таблиці як найкращий.

Переваги цього методу, у порівнянні з градієнтними, полягає у наступному:

1. Простота методики да розрахунків.

2. Не потрібно чітких чисельних оцінок критерію оптимальності. Оцінку дослідів можно проводити за декилькома параметрами.результат досліду повинен буди оцінен «краще» - «гірше» , що для дослідника зазвичай не складає труднощів.

3. У процесі експериментування симплекс – метод дозволяє ввести в дослідження новий фактор, який спочатку не враховувався. При цьому введеня нового фактору не порушує умов вже поставлених дослідів.

4. Метод не накладує жостких вимог на апроксимацію поверхні відгуку площиною.

Недоліками симплекс – планування є наступне:

1. Методдозволяю прийти до оптимальної області значення фактору, однак він не дозволяю оцінити вплив кожного фактору окремо.

2. Математична обробка результатів дослідів, поставлених за симплекс – плануванням , не дозволяє отримати точний математичний опис поверхні відгуку.

У додатку 6 приведений загальний алгоритм симплекс – планування у вигляді операторної блок – схеми. До оволодіння методом рекомендується вести дослідження, дотримуючись логічної послідовності, вказаної в схемі. Такий наглядний запис алгоритму компактний та зручний при частому зверненні до керівництва.нижче більш докладно розглянуті основні положення техніки симплекс – планування.

3.Вибір матриці та планування.

При плануванні дослідів необхідно вибирати основний рівень значень факторів та інтервал їх варіювання . При дослідженні факторів необхідно спочатку поставити дослід. Значення фактору в кожному досліді вихідного симплексу знаходиться за формулою:

(5.1)

- номер досліду

- номер фатору

Величина а значення коефіцієнту визначається елементами матриці вихідного симплексу ( табл.15). В залежності від номеру досліду та номеру фактора коефіцієнт приймає значення або 0. в таблиці 16 приведені значення ціх коефіцієнтів до .

В таблиці 17 приведена розгорнута матриця значень для 15 факторів.

Задача 8. Необхідно підібрати оптимальний режим флотації мономіренальної руди. Дослідженю падлягає:

1. Час агітації

2. Час флотації

3. Витрата піноутворювача

4. Витрата збирача

5. Витрата вапна

Результати дослідів оцінюються за витягом .

Основний рівень факторів та інтервал їх варіювання прийнятий згідно таблиці нижче:

Фактори	Основний рівень	Інтервал варіювання
	20	10
	15	5
	50	25
	300	200
	1000	500

Матриця елементів вихідного симплексу Таблиця 15

Досліди	Фактори
	1	2	3	….
1				….
2				….
3	0			….
4	0	0		….
….	….	….	….	….	….	….
	0	0	0	….
	0	0	0	….
	0	0	0	….	0

Приклад синтезування для ілюстрації техніки симплекс – планування.

Таблиця розрахункових значень коефіцієнтів для симплекс – планування Таблиця 16

1	0,5	0,5	1	16	0,04304	0,68616	2,9158
2	0,2887	0,5773	1,2249	17	0,04022	0,68717	3,0007
3	0,2041	0,6124	1,4144	18	0,03823	0,68835	3,0827
4	0,1581	0,6325	1,5813	19	0,03627	0,68917	3,1627
5	0,1291	0,6454	1,732	20	0,0345	0,69002	3,2412
6	0,1091	0,6544	1,8713	21	0,03289	0,69094	3,3168
7	0,0951	0,6615	2,0000	22	0,03143	0,69154	3,3918
8	0,0833	0,6665	2,1216	23	0,03010	0,69226	3,4646
9	0,07453	0,6708	2,2362	24	0,02887	0,69283	3,5361
10	0,06742	0,6742	2,3458	25	0,02773	0,69339	3,6061
11	0,06154	0,6770	2,4498	26	0,02669	0,69393	3,6741
12	0,05643	0,6793	2,5502	27	0,02572	0,69437	3,7426
13	0,05241	0,6814	2,6464	28	0,02481	0,69485	3,8083
14	0,04879	0,6832	2,739	29	0,02397	0,6952	3,8734
15	0,04564	0,68464	2,8289	30	0,02319	0,69558	3,9378

Для дослідження 5 факторів необхідно поставити 6 дослідів. Складаємо за формулою (5.1) та табл. 17 матрицю планування експериментів для 6 дослідів (табл. 18). Знайдені за нею значення факторів та отримані результат дослідів заносимо до таблиці 19.