Планування експериментів

(методологічне керівництво)

Кривий Ріг 2012

ВСТУП     Запропоновані в останні роки методи пошуку оптимальних рішень, засновані на плануванні експерименту та математичної обробки їх результатів, отримали широке поширення за кордоном і успішно застосовуються у нас в різних галузях промисловості.     Методи планування експериментів досить універсальні і можуть бути застосовані до широкого класу дослідницьких і конструкторських розробок, де потрібно визначити оптимальне значення впливаючих на досліджуваний об'єкт змінних чинників.     Належить вивчити об'єкт, на який впливає цілий ряд чинників- . Під об'єктом можна вважати конструкцію апарату, технологічний процес, режим роботи агрегату та інш. Умовно можна розрізняти два типи завдань, що стоять перед дослідником: 1. Визначення такого значення змінних чинників , щоб величина залежна від цих чинників, була максимальною (мінімальною). 2. Визначення характеру і ступінь впливу кожного з чинників на результат .     У більшості випадків доводиться вирішувати обидва завдання одночасно.      Зазвичай при існуючому методі пошуку рішень дослідник послідовно вивчає вплив одного параметра, а решта стабілізує на постійному рівні. Такий підхід до розв'язуваної задачі трудомісткий і не застосовний.     Методи планування експерименту дозволяють одночасно змінювати всі чинники, вони значно скорочують обсяг досліджень і швидко наближають до оптимальної області значень чинників.     Методи планування оптимальних коефіцієнтів - це нові кібернетичні методи досліджень. Вони базуються на так званій "активній статистиці" або "активному експерименті".     При "пасивному експерименті" дослідник фіксує результати безперервно мінливого процесу або ставить експерименти довільним чином, вибираючи умови дослідів на основі інтуїції, зручності і т.п. В процесі випробувань дослідник набирає необхідну кількість статистичного матеріалу про процес, який надалі обробляється.Прі великій кількості чинників, що впливають на процес, необхідно мати велику кількість дослідних даних.     "Активний експеримент" передбачає планування дослідів, тобто, цільову зміну досліджуваного, чинника, що дозволяє у багато разів скоротити число дослідів. Крім цього, методи планування мають ще одна велика перевагу. Можуть бути такі умови завдання, які при послідовному зміні одного якого-небудь чинника, при фіксованих всіх інших, не приведуть до виявлення оптимальної області,    На рис. 1 графічно зображена така ситуація. Почергове зміна будь-якого з двох аргументів або в точці викликає зменшення . Це створює хибне уявлення про те, що оптимум знаходиться в точці , насправді оптимум знаходиться в точці при і при цьому і . Провівши дослідження методами активної статистики, таку помилку допустити не можна, так як одночасне зміна обох аргументів призведе до виявлення оптимуму в області більших значень і менших в порівнянні з точкою .

Рис.1 Ілюстрація хибного оптимуму в точці . Почергова зміна в т.  значеннь та  знижує критерій . Насправді оптимум в точці 

Пошук оптимального рішення задачі методом планування експеріментов включає два етапи - досягнення "майже стаціонарної області" та опис "майже стаціонарної області" з відшуканням екстремальної точки.     У результаті досягнення "майже стаціонарної області" визначається досить вузький діапазон значень чинників, в якому функція відгуку близька до свого оптимального значення. Для вирішення багатьох технічних завдань цілком достатньо досягти "майже стаціонарну область".     При досягненні "майже стаціонарної області" функція відгуку апроксимується гіперплощиною. Для точного визначення значень чинників в оптимальній точці, необхідно отримати опис майже стаціонарної області у вигляді математичного рівняння. Аналіз рівняння дозволяє відшукати екстремальні значення його параметрів.     Планування експерименту висуває такі основні вимоги до розв'язуваної задачі:    1.3адача повинна містити чітко сформульовану мету досліджень.     Виходячи з цього, результати дослідів повинні мати конкретний критерій оптимальності, званий інакше цільової функцією досліджень або функцією відгуку. Деякі методи, такі як симплекс-планування, дозволяють мати кілька критеріїв оптимальності, інші - дозволяють знаходити рішення при максимізації (мінімізації) одного критерію і обмеженнях на інші. Однак у всіх методах критерій оптимальності повинен відображати мету досліджень.    2.Чинники, що беруть участь в дослідженні, і критерій оптимальності повинні мати чисельне визначення.Критерій оптимальності дослідник вибирає, виходячи з поставленого завдання і свого досвіду. Критерієм можуть бути технологічні показники (вихід, якість, витяг), економічні показники та ін. Вибір критерію - один з важких питань у плануванні експерименту і ускладнюється тим, що дослідник часто не може звести задачу до однієї цільової функції. Наприклад, максимальне вилучення металу в концентрат не є досить загальним показником оптимальності у відриві від вмісту металу в концентраті і в хвостах. 3.Всі чинники, що підлягають дослідженню (принаймні, вирішальні) повинні враховуватися плануванням.Чинники, не включені до планування, повинні бути зафіксовані на одному рівні. Якщо який-небудь чинник не враховується, він може внести такі викривлення в результаті досліджень, що планування експериментів втратить всякий сенс. Ця умова визначає відтворюваність дослідів. Досліди, поставлені для однакових умов, повинні давати однакові результати. Різниця між ними не повинно перевищувати помилки експерименту. Є декілька методів планування оптимальних експериментів. Під оптимальними, в даному випадку, маються на увазі такі досліди, які при мінімальному їх числі дають максимальну інформацію про досліджуваний об'єкт. Від дослідів на першій стадії планування не потрібне отримання максимальних результатів, вони повинні в основному вказати умови отримання таких результатів. Розглянутий далі метод симплекс-планування дозволяє вести пошук з урахуванням декількох критеріїв. В інституті Механобрчормет розробляється метод планування, який дозволяє оптимізувати рішення з урахуванням обмежень на нецільові функції. Наприклад, максимізувати витяг , при обмеженнях на якість концентрата ( )і втрати в хвостах ( ). Метод буде описаний окремо.

Всі методи планування експериментів можна розділити на два класи: методи досягнення «майже стаціонарної» області та методи опису «майже стаціонарної» області. Розроблені в даний час методи планування експериментів особливо ефективні на стадії досягнення майже стаціонарної області, так як методика планування та техніка обчислень дуже прості. Для вирішення більшості технічних завдань цілком достатньо досягнення майже стаціонарної області. У цьому посібнику розглядаються ці методи. Кожен з методів досягнення майже стаціонарної області має свої переваги і недоліки і своє призначення. Дослідник повинен вибрати, який метод найбільше відповідає характеру завдання і цілі досліджень. 1.Метод крутого сходження. / Метод Бокса і Уілсона, метод руху по градієнту - це найбільш популярний метод планування експерименту. Він дозволяє визначити вплив кожного чинника на функцію відгуку, намітити напрямок зміни значень чинників для досягнення оптимуму, отримати лінійний опис локальної області досліджуваного об'єкта. Недоліки методу: оптимізації підлягає тільки один критерій, інформація отримана від попередніх дослідів не використовується в наступних, тобто пошук відбувається без самонавчання. 2.Симплекс-планування. Основна перевага методу - визначення оптимуму здійснюється з урахуванням кількох критеріїв. Він відноситься до так званих, «адаптаційних», тобто пристосованих методів. Інформація, що отримується від попереднього досліду використовується для коригування значень чинників в подальшому досліді, проте матриця планування цього методу не дозволяє отримати точне рівняння, що описує процес. 3.Еволюційне планування (також адаптаційний метод планування). Цей метод планування на відміну від перших двох застосовується в основному для проведення експериментів у напівпромислових і промислових умовах, коли значення досліджуваних чинників можна змінювати у великому діапазоні, а вплив їх потрібно вловити на загальному тлі впливу багатьох інших невраховуваних чинників / т.н.шум / . Метод використовує ідеї методу крутого сходження, однак він більш трудомісткий. 4.Методи випадкового пошуку, випадкового балансу, послідовного відсіювання і ін. застосовуються, коли на об'єкт впливає багато (10-20 і більше) чинників. Область застосування цих методів звужується низкою обмежень, крім того в більшості випадків ці методи ефективні тільки із застосуванням ЕОМ. . 5.Спеціальні методи, які використовують ранжування аргументу і функції , обмеження на критерії оптимізації функціонального перетворення та ін. У лабораторії математичних методів досліджень намічено розробити і випустити методологічні посібники з методів: 1. Крутого сходження 2. Еволюційного планування 3. Симплекс-планування 4. Деяким спеціальним методам.

5. Знаходження математичних залежностей на ЕОМ Урал-2 з урахуванням перетворень змінних. 6. Планування експериментів для опису "майже стаціонарної" області та ін     У цьому посібнику розглядаються три перші методу для досягнення майже стаціонарної області.    Розділ 1 висвітлює деякі елементарні питання математичної статистики і термінології, без якої неможливий подальший виклад. У розділі 2 розглядаються основні положення методу крутого сходження, а в розділі 3 дані конкретні приклади та техніка методу крутого восхожденія. У розділі 4 описується на прикладі еволюційне планування.У 5 розділі розглядається симплекс-планування. По кожному методу в додатку 4,5 і 6 дається зведена логічна блок-схома проведення експерименту.   Методи планування оптимальних експериментів викладені в повній мірі в книзі Налимова В.В. / 4 /, проте книга розрахована на підготовленого читача. В роботах [5, 6,12] викладено деякі методи більш популярно.Приклади використання методу крутого сходження в області збагачення дані в роботах / 7,8 /. Знайомство з цим керівництвом полегшить читання спеціальної літератури з цього питання.

Розділ 1

Елементи математичної статистики. Термінологія.       Форма зв'язку між чинниками та параметром визначається кривою регресії. Аналітичне вираження кривої регресії називається рівнянням регресії. Рівняння регресії пов'язує змінну зі змінними за умови, що значення та містять помилку або на впливає інші невраховані чинники. Приймається, що рівняння регресії відповідає функції відгуку        Завдання планування оптимальних експериментів полягає в тому, щоб при мінімальній кількості дослідів визначити характер впливу, впливаючих на об'єкт чинників і знайти їх такі значення, щоб функція відгуку брала оптимальне значення.        Будь-який аналітичний вираз функції відгуку можна представити у вигляді поліномів першої, другої і т. д. аж до ступеня. У випадку двох чинників та поліном першого ступеня має вид:

      Другого ступеня:       У поліномах розрізняють члени нульового ( ), першого( ) і другого ( )порядку. Чим вище ступінь полінома, тим точніше апроксимація кривої регресії. Для дуже великої кількості випадків достатня апроксимація поліномом першого ступеня. Проте іноді необхідно використовувати поліноми другого, третього ступеня та вводити подвійні і потрійні взаємодії.      Коефіцієнти в рівнянні називаються коефіцієнтами регресії. Є відповідно коефіцієнти нульового( ) першого( ) і другого( ) порядку. Розрізняють також коефіцієнти лінійних членів( ) подвійної взаємодії( ), квадратичних членів ( ) і т.д.      Якщо в рівнянні відкинути члени другого і вище порядку, то функція відгуку буде апроксимувати площиною. У цьому випадку, коефіцієнти та характеризують нахил площини до осі та . Апроксимація площиною, як правило, можлива тільки в обмеженій області значень чинників, не близько від точки, що відповідає максимальному або мінімальному значенню функції. При визначенні чисельної величини коефіцієнтів регресії ставлять серію з дослідів і вирішують систему з рівнянь, в яких невідомими є коефіцієнти. Систему вирішують за умови, щоб сума квадратів відхилень між розрахунковим значенням і фактичним для всіх дослідів була мінімальною       Природньо, число рівнянь в системі має бути більше або дорівнює числу коефіцієнтів, що входять в рівняння, в іншому випадку не можна визначити коефіцієнти.       За певних умов за величиною коефіцієнтів регресії можна судити про ефект кожного чинника або їх взаємодії на результат досліду. На цьому заснований регресійний аналіз.      Планування експерименту проводиться при суворому статистичному аналізі надійності одержуваних результатів. Інакше помилка в експериментах може призвести до невірних висновків про вплив чинників та направлення їх зміни.      Розглянемо поняття про середньоквадратичне відхилення. Якщо багато разів проводити замір однієї і тієї ж величини, то результат вимірів буде різним, він буде групуватися навколо якоїсь середньої величини . Середньоквадратичне відхилення характеризує помилку в даній серії дослідів щодо його середнього значення.

(1.1)

- середньоквадратичне відхилення

- результат досліду

- середньоарифметичний результат всіх дослідів

- кількість дослідів

Квадрат середньоквадратичного відхилення називається дисперсією. Знаменник формули визначає число ступенів свободи. Коли з серії дослідів знаходять характеристик, то ( ) визначає число "зайвих" дослідів, тобто число ступенів свободи. Чим більше ступінь свободи, тим статистично надійніші отримані результати.

Приклад. Були поставлені 5 дослідів в постійних, умови по сепарації руди, отримані наступне витяг в концеітрат %: 79, 81, 82, 81, 82.

Середньоквадратичне відхилення дорівнює

Якщо виміри  підкоряються нормальному закону розподілу, то з теорії ймовірностей випливає, що 68,3% всіх замірів знаходиться в інтервалі , 95,4% - в інтервалі та 99,7% в інтервалі . Це положення можна сформулювати інакше: з ймовірністю 68,3% помилка вимірів не буде перевищувати ; з ймовірністю 95,4% можна стверджувати, що помилка не перевищить величини, рівної , але є ймовірність 0,3% що помилка виміру в досліді перевищить .    В імовірнісних системах, для визначення достовірності отриманих результатів проводять різний статистичний аналіз. Часто з цією метою використовують, так зване, - відношення або - критерій Фішера.     - відношення є критерієм оцінки статичної значущості відносини двох дисперсій. 

(1.2)    Він показує, наскільки достовірні статистично отримані величини. У чисельнику завжди ставиться більша дисперсія.      - відношення показує межі, в яких різниця не є випадковою. Ці межі визначаються з різною ймовірністю достовірності (рівень значимості) і залежать від числа ступенів свободи при якому визначалися та У додатку 1 наведено значення для рівня значимості 0,05. Якщо обчислене відношення двох дисперсій менше значення , наведеного в таблиці, то з імовірністю 95% різниці між та є несуттєвою, випадковою і, навпаки, якщо це відношення більше табличного, то відмінність між дисперсіями не може бути випадковим. У спеціальних книгах наводяться таблиці - відношень для рівня значущості 0,1, 0,01 та ін.

Приклад.  Припускається, що дві проби руди однакові і відмінності в них не позначаються на результатах вилучення.Достовірно це твердження? 

На першій пробі поставили 3 досліди ( ),які дали наступні результати: ;

; ; середнє .

На другій пробі поставлено 4 досліди( ) відповідн, ; ; ;

;середнє . Середньоквадратичне відхилення витягу по першій та другій пробах складає ;

Робити категоричний висновок про рівність двох явищ з та аналогічно розглянутому нижче прикладу, не можна.  - відношення показує тільки, що різниця поставленими дослідами не знайдена, а наявні відхилення в результатах можуть бути пояснені помилкою дослідів. Не виключено що при повторних дослідах при інших та , - відношення перевищить критичне.

Табличне відношення для та складає . Отримане ідношення менше табличного, отже, різниця у витягах двох проб з імовірністю 95% може бути пояснено помилкою дослідів, а не відмінностями в цих пробах, (див. додаток № 1).      При підборі математичної залежності, яка описує процес, важливо оцінити, наскільки ця залежність відповідає експериментальним даним.        Оцінка проводиться за сумою квадратів відхилень (нев'язок) або залишкової дисперсії:  (1.3)

(1.4)       При відомих коефіцієнтах регресії сума квадратів відхилень може бути визначена за більш зручною для обчислень формулою :

(1.5) Число степеней свободи в цьому випадку дорівнює  Середньоквадратичне відхилення результатів дослідів визначається в цьому випадку за формулою:  (1.6) В цих формулах:

  - сума квадратів відхилень за всіма дослідами миж розрахунковим та дослідним значенням;     

- дослідний результат досліду

- результат досліду, розрахований за знайденим рівнянням

- номер досліду

- номер змінної

- кількість дослідів

- кілкість членів рівнянь регресії без нульового

- коефіцієнт регресії чиннику.

Зауважимо, що тоді , то , тобто коли досліди ставляться з нульовим ступенем свободи, то сума квадратів відхилень між розрахунковими і дослідними значеннями завжди дорівнює 0 і визначити залишкову дисперсію за формулою (1.6) неможливо.  При математичному описі процесу відхилення дослідного значення від розрахункового залежить не тільки від прийнятого виду апроксимуючої функції, але і від помилок у вимірах та . Середньоквадратичне відхилення визначене за формулою (1.6), акумулює обидві причини: помилки в дослідах і неточності апроксимації.         Якщо за характером завдання відомо, що процес повинен описуватися, наприклад, лінійним рівнянням, то визначення за наведеною формулою буде характеризувати тільки помилку дослідів. І, навпаки, якщо відома помилка дослідів, то за залишковою дисперсії з допомогою - відносини можна оцінити відповідність прийнятої функції апроксимації (див. докладніше розд. 2, § 5)       За наявності "вільних" ступенів свободи частину їх приймають для оцінки помилки, а частину для оцінки функції апроксимації. 

Розділ 2 МЕТОД КРУТОГО СХОДЖЕННЯ (Метод Бокса та Вілсона) 1. Математична сутність методу і його геометрична інтерпретація Розглянемо як приклад про відшукання оптимального режиму флотації моно мінеральної руди, який забезпечує максимальний вихід концентрату. Належить вивчити вплив двох чинників: витрата активатора і збирача . Припустимо, дослідження проводяться за класичною методикою: визначається вихід концентрату при зміні витрати і різному фіксованому витраті . Графічно результати дослідів представлені рис. 2. Одночасна зміна витрат призведе до того, що результати дослідів будуть розташовуватися на якійсь поверхні, яка в тривимірному просторі являє собою "пагорб" (рис 3). У загальному вигляді ця поверхня відгуку описується невідомим нам рівнянням: . У математиці така поверхня для будь-якого числа вимірів називається гіперплощиною або гіперповерхнею. Якщо "розрізати пагорб" горизонтальними площинами, відповідними певному виходу концентрату, то отримаємо "топологічну карту" пагорба. На рис. 4 представлений цей план в горизонталях. Кожна лінія відповідає рівному рівню виходу . (Зауважимо, що рис. 2 відповідає "розрізу пагорба" вертикальною площиною перпендикулярній осі і лінії плану відповідають рівному рівню ). Мета досліджень полягає в тому, щоб знайти координати значень та , що відповідають точці на вершині "пагорба". Найчастіше дослідження починаються біля підніжжя пагорба. Геометрично метод крутого сходження можна інтерпретувати як переміщення деякої точки , що знаходиться на поверхні "пагорба", в область, що представляє собою околиці його вершини (так звана, майже стаціонарна область). На топологічному плані (рис.4) це відповідає найкоротшому направлено (градієнту) руху точки по прямій в область точки . Метод крутого сходження був запропонований в 1956 р. Боксом і Вілсоном. Ідея методу полягає в наступному: 1. Дослідник приймає значення чинників, які, на його погляд, близькі до оптимальних, так званий нульовий або основний рівень (вибирає точку ) і одиницю варіювання кожного чинника. 2.Ставітся серія дослідів, умови яких визначаються матрицею планування експериментів. У цій матриці більше і менше значення чинника від нульового рівня чергується в певній послідовності. 3.За результатами цих дослідів знаходять для кожного чинника певний коефіцієнт . Знак коефіцієнта показує, що необхідно зменшити або збільшити від нульового рівня даний чинник, а його величина вказує щодо на скільки одиниць варіювання необхідно його змінити. _____________________________________________________________________________ Розглянутий приклад запозичений у роботі (7) Надалі приклад дещо змінений для більш повної ілюстрації техніки планування. Вирішення цієї задачі методом крутого сходження наведено в розділі 3.

Рис.2 Вихід концентрату в залежності від витрати активатора за різних витрат збирача.

Рис.3 Перспективний вид поверхні

Рис 4. Лінії рівного виходу ( ) (в колах на ізолініях вказані вихід у %).

4.У цьому напрямку роблять кілька кроків (дослідів) до отримання 5.В досягнутій області, при необхідності, ставлять другу серію дослідів. За нульовий рівень приймають умови найкращого досліду. Знаходять нові коефіцієнти і визначають напрямок подальшого руху. У математичному плані сутність методу полягає в тому, що за результатами дослідів знаходять функцію відгуку у вигляді лінійного рівняння регресії:

За знаком та величиною коефіцієнтів регресії судять про найкоротший напрямок руху до максимальної області. Коли зі збільшенням кроків не змінюється, це означає, що досягли так звану майже стаціонарну область і подальше планування експериментів методом крутого сходження не дасть ефекту. У цій області ставлять, за новою більш повноююю матрицею, іншу серію дослідів і знаходять функцію відгуку у вигляді полінома другого ступеня.

. Методами математичного аналізу рівняння досліджується і визначаються екстремальні значення . У більшості випадків, достатньо досягти методом крутого сходження оптимальної області значень чинників, не вдаючись до використання поліномів вищих ступенів для їх уточнення. Ми будемо розглядати метод Бокса та Уілсона тільки на стадії крутого сходження. Так як планування виробляється у наведеній системі координат, то рівняння регресії в цій системі має вигляд:

-кодована змінна, вона пов'язана з оригінальною змінною формулою:

,

де - коефіцієнти регресії;

- значення чинників-аргументів;

нульове(базове) значення чинників

- одиниця варіювання чинників.

Знаючи коефіцієнти за допомогою цього рівняння можна передбачити результати дослідів через задану кількість кроків. Точність такого прогнозу визначається відповідністю даного рівняння описуваного їм процесу в досліджуваній області і помилкою досліду. Розглянутий метод планування експерименту є дуже ефективною зброєю дослідника. Однак, незважаючи на гадану простоту, сліпо їм користуватися не можна. Особливу увагу необхідно звернути на таке:

1.Чітко визначити ті чинники, які впливають на процес і які з них потрібно досліджувати. Кожен досліджуваний чинник повинен мати чисельну характеристику. Досліди повинні бути відтворювані. 2.Нульовий рівень і одиниці варіювання чинників повинні бути такі, щоб вплив чинників на функцію відгуку було сумірно між собою. 3.Необходімо суворо оцінювати достовірність отриманих результатів, помилка досліду не повинна бути сумірна з величиною визначених коефіцієнтів. 4.Вплив квадратних членів рівняння регресії, які при методі крутого сходження відкидаються, може бути великим. У цьому випадку метод не ефективний. Щоб переконатися в тому, що можна знехтувати ефектами другого порядку, необхідно поставити дослід при значенні чинників рівному нульового рівня ( ), різниця повинна бути малою. 5.Дуже часто вплив ефектів взаємодії сумірно або перевищує лінійні ефекти. У цьому випадку важко зробити правильні висновки і метод може виявитися неефективним. Тому, якщо з теоретичних міркувань очікується взаємодія чинників, необхідно скласти таку матрицю планування експериментів, щоб по ній можна було перевірити ефекти взаємодії. Нижче більш докладно розглядаються основні питання техніки проведення - експериментів за методом крутого сходження. 2.Вибор матриці планування Таблиця значень досліджуваних чинників у дослідах називається матрицею планування. Кожен дослід матриці відповідає певному режимній умові. Як правило, значення чинників виражаються у наведеній системі координат

(2.1) Вибір матриці планування експерименту один з визначальних моментів у методі крутого сходження. Матриця повинна відповідати наступним основним умовам:

1. , (2.2) тобто сума значень в кожному зі стовпців таблиці матриці повинна бути рівна . 2.Матріца повинна бути ортогональною, для цього необхідно, щоб сума добутків значень будь-яких двох стовпців та дорівнювала . Ця умова запишеться як:

3.Сумма квадратів значень для кожного стовпця повинна дорівнювати 1. , (2.3) Ця умова завжди зберігається, коли чинники варіюють на двох рівнях +1 і -1. Порушення перелічених умов побудови матриці перешкоджає застосуванню формул для визначення коефіцієнта регресії (2.4) та їх помилки (2.8). На стадії крутого сходження змінні, які беруть участь в експерименті варіюються на двох рівнях +1 і -1.При описі майже стаціонарної області змінні варіюються на трьох рівнях. Ці випадки в даній роботі розглядатися не будуть.

При двочинниковому експерименті всі можливі комбінації змінних, які варіюють на двох рівнях,представлені в 3 і 4-й колонках такої таблиці:

Повний двочинниковий експеримент Таблиця 1

Номер досліду					Результати дослідів
1	+	-	-	+
2	+	+	-	-
3	+	-	+	-
4	+	+	+	+

Стовпець у всіх дослідах має значення +1. Колонка взаємодії відповідає добутку значень аргументу та . При чотирьох дослідах можуть бути визначені коефіцієнти рівняння регресії виду: Якщо відомо, що процес можна описати лінійним рівнянням , то залишається один ступінь свободи для визначення помилки досліду або перевірки ступеня відповідності лінійного рівняння( ). Зі збільшенням числа факторів різко зростає число дослідів. При двох рівнях варіювання число дослідів дорівнює , де число факторів. При трьох рівнях . Тому ставити повний чинниковий експеримент при вивченні багатьох факторів практично неможливо. Як вже говорилося, на стадії крутого сходження приймається лінійне наближення поверхні відгуку. У цьому випадку можна різко знизити кількість дослідів, використовуючи для планування, так звані, дробові репліки від повного факторного експерименту. Наприклад, для трьох факторів повний чинниковий експеримент включає: 8 дослідів, однак трьохфакторной експеримент можна планувати по матриці двухфакторного експерименту, що включає всього 4 досліду. Так як приймається, що взаємодії факторів немає, то в двочинниковому експерименті добуток можна прирівняти третьому чиннику:

(табл.2)

Номер досліду					Результати дослідів
1	+	-	-	+
2	+	+	-	-
3	+	-	+	-
4	+	+	+	+

Таке планування дозволяє візначити лінійне рівняння трьох змінних.

Матриця двочинникового експерименту з прирівнянням пресдавляє собою напіврепліку від повного тричинникового експерименту.

Однак, при використанні дробових реплік виникає одна принципіальна складність.Якщо коефіцієнти парних добутків не строго дорівнюють 0 ,то знайдені коефіцієнти будуть не точними.

Не трудно помітити, що колонка добутку табл.2 в точності відповідає колонці , добуток - колонці , . Тому, знайдені коефіцієнти регресіх відповідають не тількі лінійним членам, а й відповідним взаємодіям. У даному випадку коєфіцієнт ,відповідає , тобто він вказує сумарний вплив на чинника і взаємодію чинників та .Аналогічно та характеризують ,

Якщо використати матрицю двочинникового експерименту, поклавши ,то можна візначити роздільні оцінки лінійних членів.Ця матриця представляє собою другу напіврепліку від повного тричинникового експерименту табл. 3. .

Друга напіврепліка тричинникового експерименту. Таблиця 3.

Номер досліду					Результати дослідів
1	+	-	-	-
2	+	+	-	+
3	+	-	+	+
4	+	+	+	-

Для цієї матриці

Визначення коефіцієнтів за повною матрицею з 8 дослідів дає незалежні оцинки

; , .

Об`єднання двох напівреплік дає повний тричинниковий експеримент.

При складанні напівреплик плануваннядля чотірьох чинників можна прирівнювати у матриці тричинникове планування,четвертий чинник потрійному добутку ,при цьому приймається,що ця взаємодія відсутня. Можна прирівняти фактор будь-якої іншої взаємодії, що дорівнює 0. Це відіб'ється тільки на системі спільних оцінок коефіцієнтів регресії. При дослідженні багатофакторних процесів використовуються різні дробові репліки від повного факторного експерименту. Потрібно мати на увазі, що механічно розбивати повний факторний експеримент на дробові репліки не можна.

З метою відмінності спільних оцінок матриць планування використовується поняття визначаючого контрасту. Для кожної матриці визначаючий контраст задається як добуток факторів . Це означає, що коефіцієнти регресії, визначені по матриці з таким визначальним контрастом, є спільними оцінками

Примножуючи відповідну змінну на визначальний контраст неважко визначити, з якою із взаємодій визначено коеффіцент.

Для матриці з визначальним контрастом коефіцієнти регресії будуть оцінками:

Матрицю планування експериментів необхідно вибирати, виходячи з цілей досліджень. Крім викладеного можна вказати наступні загальні положення: 1. Кількість дослідів в матриці планування не повинна бути менше ніж колонок , де - загальне число досліджуваних лінійних факторів і їх взаємодій. Планування з допомогу про матриці, яка містить дослідів больше.чем число членів регресії, називається наднасиченим плануванням. Відповідно розрізняють насичене планування ( )і ненасичене ( ). Ненасичене планування використовують у спеціальних методах, яке тут не розглядається. У методі крутого сходження використовують насичений і наднасичене планування. Чим більше число дослідів, тим точніше визначаються коефіцієнти регресії. Крім того, залишаються вільні ступеня свободи для визначення помилки дослідів і оцінки ступеня відповідності прийнятого рівняння експериментальним даним. 2.Матріця повинна дозволяти визначення коофіцієнтів лінійних членів без впливу коефіцієнтів взаємодії, в іншому випадку будуть отримані вікривлені значення коефіцієнтів. (Слід пам'ятати, що завжди )

Якщо за характером процесу не очікується взаємодії факторів, то для планування експериментів на стадії крутого сходження можна використовувати будь-яку матрицю з точки зору системи спільних оцінок. Спільні оцінки в цьому випадку не приймаються до уваги. Якщо за характером процесу очікується взаємодія факторів, то потрібно підібрати таку матрицю і з такою системою оцінок, щоб ці взаємодії при лінійних членах були відсутні або були зведені до мінімуму. У додатку 3 наведено деякі матриці планування з різними системами оцінок. 3.В матрицях можна міняти місцями колонки факторів і взаємодій, що призводить до зміни систем спільних оцінок, умови ортогональності при цьому зберігаються. Зміна положення рядків матриці не змінює систему оцінок і ортогональність. Зміна значень елементів матриці неприпустима, тому що при цьому може порушитися умова ортогональності матриці. 4.Велике значення має вдалий вибір основного рівня та одиниці варіювання. Основний рівень необхідно приймати, виходячи з міркувань професійного порядку і уявлення про процес, він повинен відповідати передбачуваним оптимальними умовами. У той же час величина основного рівня повинна дозволяти змінювати значення факторів в обідві сторони. Отримувані оцінки значень факторів, залежать від одиниці варіювання, звідси випливає дві основні вимоги до одиниці варіювання: а) вона повинна істотно змінити значення факторів, щоб це відбилося на фоні помилок в результатах дослідів; б) варіювання факторів повинно бути сумірно між собою за вкладом в результат досліду. Той фактор, який впливає сильніше на результат досліду, повинен мати меншу одиницю варіювання і навпаки. Ніяких строгих "математичних обмежень" на вибір основного рівня та одиниці варіювання немає. Вони в основному вибираються довільно, проте не дотримання зазначених умов подовжить пошук, знадобляться додаткові серії дослідів.

3.Визначення коефіцієнтів регресії

Ортогональна матриця планування експиментів дозволяє легко візначати лінійні коефіцієнти регресії. Коефіцієнти знаходяться за формулою:

(2.4)

де, - коефіцієнт регресії колонки матриці

- номер досліду

- номер колонки

- кількість дослідів у матриці

- результат у досліді

- умовна безрозмірна змінна колонки досліду

Згідно матриці вона може бути +1 або -1.

Як видно із формули (2.4) коефіцієнт рівний алгебраічній сумі результатів дослідів поділений на число дослідів. Знак береться за знаком відповідної змінної у даному досліді.

Так як колонка, відповідна до свободного члену, завжди містить ,то останній дорівнює середньоарифметичному результатуиз серії дослідів

(2.5)

Якщо має місце насичене планування(кількість дослідів у матриці планування дорівнює кількості членів регресії ),то сума квадратів відношень у даному випадку, розрахована за допомогою ,дорівнює 0.Цим можна скористуватись для перевірки правильності розрахунків коефіцієнтів регресії.

(2.6)

Величина коефіцієнта показує ступінь впливу відповідного фактора на при заданих одиницях варіювання. Чим більше величина коефіцієнта,тим сильніше результати дослідів залежать від значення фактора. Знак коефіцієнта показує, в який бік від основного рівня необхідно змінювати фактор для досягнення максимального значення, функції відгуку тому при мінімізації функції відгуку крок коефіцієнтівтреба змінити на зворотний. Одиничний крок зміні факторів дорівнює добутку одиниці варіювання  на відповідний  коефіцієнт зі своїм знаком

(2.7)

Якщо ставити досліди через крок, то значення фактора буде у досліді

;

у досліді: і т.д.

Крок зміни факторів за необхідності можна збільшити або зменшити у разів, тобто

і т.д

Величину   вибирають з точки зору зручності зміни значень змінних, для всіх чинників вона повинна бутиодна і та ж. Отримані значення коефіцієнта регресії необхідно 

перевірити на достовірність (див. § 4).Дуже малий коефіцієнт може пояснюватися тим, що: а) фактор не впливає на процес; б) прийнята мала одиниця варіювання; 

в) даний фактор знаходиться в оптимумі. У таких випадках  рекомендується збільшити одиницю варіювання та зробити другу серію дослідів. Якщо коефіцієнт істотно при цьому не змінився, то він на процес не впливає. 4.Оцінка значущості коефіцієнтів регресії Результати дослідів містять деяку помилку, отже, і коефіцієнти регресії, визначені за результатамидослідів, також містять помилку. Може виявитися, що величина помилки перевищує значення коефіцієнта. Це свідчить про те, що досліди досить грубі і певних висновків зробити не можна, або що фактор на процес не впливає, отримана величина коефіцієнта регресії випадкова. Помилка визначення коефіцієнтів регресії  пов'язана з помилкою результатів дослідів  формулою (2.8)

Зазвичай приймають значення коефіцієнта рівним . Якщо середньоквадратичне відхилення білшье або сумірне з величиною коефіцієнта, то певних вісновків за даним фактором зробити неможливо. Більш точну оцінк значимості коефіцієнта регресії роблять за допомогою - критерія

(2.9)

Для цього відношення приймають , - дорівнює числу ступенів свободи, при якому визначена .

Якщо отримане відношення більше табличного, то с вірогідністю значення коефіцієнта не є випадковим.

Середньоквадратичне відхилення результатів дослідів можна візначити наступним чином:

1. Задатися помилкою експерименту на основі наявного досвіду досліджень - це найбільш простий спосіб. - може бути задано з достатньою точністю, коли досліджується відомий процес, за яким вже є результати досліджень. Цей спосіб дуже зручний для орієнтовних оцінок,так як він не вимагає додаткових дослідів і досліджень. 2.Поставити спеціальні досліди. В однакових умовах повторюють кілька разів дослід, і за серії  дослідів визначають :

(2.10)

- сума квадратів відхилень результатів дослідів від середнього;

- число супенів свободи при візначенні ;

-середній результат дослідів ;

- кількість дослідів.

Серію дослідів доцільно поставити при основному рівні значень факторів. Потрібно обережно підходити до визначення  і в цьому випадку, так як помилка, визначена для умов однієї серії дослідів, переноситься на наступні досліди, проведені за інших значень факторів. 3. Якщо матриця планування експериментів містить більше дослідів, ніж число факторів (так зване ненасичене планування) і є впевненість, що немає взаємодій, то помилка може бути визначена безпосередньо за результатами дослідів планування.

(2.11)

Де, - результат досліду у досліді;

- номер досліду;

- кількість дослідів у матриці планування;

- кількість досліджуваних факторів та їх взаємодій(кількість колонок без нульової у матриці планування);

- номер фактору(колонки)

- коефіцієнт регресії фактору.

Слід мати на увазі, що точність розрахунку  за наведеною формулою невисока, тому що зазвичай число ступенів свободи   невелике. Крім того, дослідник часто не має можливості в цьому випадку перевірити гіпотезу адекватності представлення результатів досліджень поліномом першого ступеня. Тому, якщо потрібно суворий статистичний аналіз результатів дослідів і їх надійність, то кожен дослід матриці планування  дублюється. 4.Статістіческій аналіз у азі дублювання дослідів ведеться наступним чином.

Зазвичай число паралельних дослідів для кожного режиму приймається в межах 

Припустимо, є згідно матриці планування  дослідів при  паралельних.

Кожен рядок у даном випадку відповідає режимній умові матриці планування, а стовпець – результатам паралельних дослідів для кожного режиму(досліду).

А) Розраховується середнє значення функції відгуку для кожного рядка

Б) Знаходиться дисперсія для кожного рядка

В) Визначається дисперсія одиничного досліду

Г) Бажана дисперсія середнього результату становить

Для оцінки значимості коефіцієнтів та инших статистичних розрахунків беруть величину .

Д) При постановці паралельних дослідів доцільно перевірити рівноточність отримуваних результатів. Для перевірки рівноточності необхідно вібрати найбильшу порядкових дисперсій та поділити її на суму порядкових дисперсій

(2.12)

Отримане відношення має назву критерія Кохрана. Якщоотримане відношення менше табличного ,(див додаток 2) дослідирівноточні. У випадку рівноточних дослідів потрібно збільшити число паралельних дослідів для рядка, який має

До дублювання дослідів для визначення помилки , вдаються найчастіше в тому випадку, коли хочуть наявні ступені свободи матриці планування залишити для перевірки адекватності представлення функції відгуку поліномом першого ступеня. 5. Визначення можливості представлення результатів досліджень поліномом першого ступеня (перевірка, гіпотези адекватності)

Метод крутого сходження базується на тому, що поверхню відгуку можна апроксимувати площиною. В процесі планування дослідів необхідно знати, в результаті чого фактичні та розрахункові значення не збігаються. Якщо ця розбіжність пов'язана з випадковою помилкою, то після оцінки значимості коефіцієнтів регресії пошук методом крутого сходження можна продовжувати. Якщо ця розбіжність пов'язана з тим, що поверхня відгуку не можна апроксимувати площиною і потрібно використовувати поліноми більш високих ступенів, то застосування методу крутого сходження не має сенсу. У випадку "коли має місце ненасичене планування і відомо використовують - відношення для визначення можливості представлення результатів досліджень поліномом першого ступеня.

(2.13)

де, - сума квадратів відхилень для поліному першого ступеня;

- число дослідів у матриці планування;

- коефіцієнти нульового та лінійного членів;

- число лінійних членів у рівнянні регресії;

- число ступенів свободи;

- помилка дослідів- (дисперсія)

Якщо розраховане - відношення перевищує табличне, то використовувати метод крутого сходження не можна.

Табличний критерій знаходять бля ступенів свободи та , де

- число паралельнихдослідів. -характеризує число ступенів свободи для визначення помилки дослідів . Якщо помилка визначалася за формулою(2.11), то ,де - загальне число визначених коефіцієнтів без нульового.

Іноди, не вдаючись до - відношення, можливість апроксимації площиноюоцінюють за значимістю коефіцієнтів взаємодії та коефіцієнтів лінійних членів. Дляцього коефіцієнти взаємодії повинні бути сумісні с помилкою або за абсолютною величиною повинні бути невеликими у порівнянні з уоефіцієнтами лінійних членів( , тоді ними можна знехтувати.

Існує ще один спосіб оцінки нелінійності поверхні віддгуку.

Потрібно поставити у центральну точку досліди(значення факторів дорівнюють основному рівню) та знайти середнє з них .При невеликій помилці дослідів у центрі можна ставити один дослід. Якщо з`ясується, що ,то квадратними членами можна знехтувати.

Цей спосіб не дозволяє враховувати нелінійність, внесенувзаємодією факторів, Ним користуються частіш для перевірки досягнення майже стаціонарної області. Велика величина говорить про те, що досягнути майже стаціонарну область та подальший рух за градієнтом недоцільний. У майже стаціонарної області внесок значно перевищує внесок , тому однозначна лінійна змина значень аргументів не приводять до бажаного результату.

Знак визначає характер поверхні відгуку в досліджуваній області. Якщо , то поверхня відгуку на даній ділянці опукла, якщо ,то увігнута.

Розділ 3

Техніка проведення досліджень методом крутого сходжження

(приклади вирішення завдань)

На базі розглянутих в 1 і 2 розділах загальних положень математичної 5 статистики і методу крутого сходження наведено вирішення низки конкретних завдань. Характер завдань підібраний таким чином, щоб дослідник зміг інтерпретувати їх для своїх умов. Перше завдання розглянуте докладно, тому знайомство з технікою методу рекомендується почати з неї. Слід пам'ятати, що методи активної статистики, як і інші методи кібернетики, перебувають у стадії бурхливого розвитку: розробляється теорія питання, накопичується практичний досвід застосування їх в різних галузях науки та техніки. Тому дуже важко зробити повні узагальнення і скласти готові універсальні рецепти для різних завдань.Однак для полегшення:освоєння та методологічної конкретизації так спроба була зроблена. Логічна послідовність і техніка обчислень наведена в оперативній блок-схемі (додаток 4). Схема акумулює в собі у вигляді компактного запису основні положення викладеного вище методу. Однак дослідник повинен прагнути зрозуміти та опанувати сутність методу та творчо застосовувати його у своїй роботі,а не механічно повторювати дії за схемою без розуміння їх змісту та необхідності. Розрахунки за формулами необхідно робити з високою точністю. Ліпше для цих цілей викоритовувати комп`ютери.

Задача 1.

Знайти витрату активатора та витрату збирача для отримання максимального витягу концентрату ( геометрична інтерпретація цього прикладу в розд. 2,тут

Планування експериментів показано в табл.4. Так як помилка дослідів була невідомою, то досліди були дубльовані. Усього було поставлено

1. Визначаємозначення коефіцієнтів за формулою (2.4), беручи середні значення функціі відгуку з двох паралельних дослідів :

2. Визначаємо помилку дослідів .

а) Визначаємо порядкові дисперсії

аналогічно ,

б) Визначаємо критерій рівноточності

Для та за додатком 2 знаходимо

, отже досліди рівноточні.

в) Знаходимо дисперсію одиничного виміру

г) Визначаємо дисперсію середнього

Середньоквадратична помилка досліду дорівнює

3. Визначаємо достовірність отриманих значень коефіцієнтів регресії. Для цього знаходимо помилку визначення коефіцієнтів:

Отримані значення коефіцієнтів лінійних членів значно перевищують помилку,яку вони містять:

В той же час, помилка перевищує значення коефіцієнтів взаємодії , це говорить про те, що коефіцієнт практично дорівнює 0 і взіємодії факторів та немає.

Для повноти досліджень перевіримо також достовірність значень коефіцієнтів за допомогою -відношення:

Кількість ступенівсвободи для помилки коефіцієнтів ,кількість ступенів свободи для помилки дослідів . Табличне значення -відношення для та дорівнює (додаток 1).Так Як , то вважається доведеним, що отримані значення коефіцієнтівдля фактора та не випадкові і залежить від цих факторів.

Взаємодія факторів не має місце; значення коефіцієнтів - величина випадкова і є наслідком помилки досліду, так як -відношення його менше табличного

4. урозгляненому прикладі коефіцієнт взаємодії незначний, тому перевіряти гіпотезу адекватності лінійного наближення у даному випадку не має сенсу, однак для ілюстрації техніки такої перевірки за допомогою -відношення, ми її проведемо.

Відношення остаточної дисперсії при використанні поліному першого ступеня до дисперсії, звязаної з помилкою, дорівнює:

- число лінійних членів у рівнянні регресії.

Число ступенів свободи

Число ступенів свободи для . Табличне відношення (див додаток 1). Таким чином, знайденевідношення говорить про те,що значення , розраховане за поліномом першого ступеня, відхиляється від дослідних значень , випадково, а не із-за поганого опису процесу лінійним рівнянням.

Перевірка відхилень значень функції відгуку у центральній точці від середньоарифметичного результату дослідів( ) також підтверджує можливість використання лінійного рівняння регресії. У центральній точці

( )

Величина сумірна з помилкою дослідів

Гіпотеза про адекватність наближення площиною підтверджена, метод крутого сходження можна застосовувати.

5. Розраховуємо величину одиничного кроку зміни факторів

Робимо один кроку бік оптимуму. Значення факторів для досліду №5 становить:

Реалізація досліду №5 дала (точка на рис.3)

6. Робимо наступні півкрока ( ) від досліду №5. Дослід №6 (точка )

7. Робимо наступні півкрока від досліду №6. Дослід №7 (точка )

8. Результат досліду №7 визнаний оптимальним. Подальший рух приводить до зменьшення .

Матриця планування експериментів завдання №1 Таблиця 4

Параметр планування	Досліджувані фактори			Функція відгуку
Основний рівень (точка )	550	100
Одиниця варіювання	50	10
Верхній рівень	600	110
Нижній рівень	500	90
Матриця планування
Дослід №1(точка )	-	-	+	24,2	25,8	25,0
Дослід №2(точка )	+	-	-	17,5	18,5	18,0
Дослід №3(точка )	-	+	-	37,0	36,6	26,8
Дослід №4(точка )	+	+	+	30,3	30,9	30,6
Коефіцієнти	-3,3	+6,1	0,2
Одиничний крок	-165	61	-
Дослід №5 (точка )	385	161				67
Дослід №6(точка )	302,5	191,5				79
Дослід №7(точка )	220	222				80,5

Задача 2. Необхідно визначити такі умови фільтрування матеріалу, щоб вологістьосаду була мінімальною. Дослідженню підлягає:

Вміст твердої фази в пульпі, % -

Вакуум ,мм рт ст -

Час набору кека, хв -

Час просушування кека, хв -

Температура пульпи, -

Кодування змінних, їх рівні, одиниця варіювання та матриця планування дослідів представлені у таблиці 5. За даною матрицею було поставлено 8 дослідів та визначені коефіцієнти:

Приймаємо, що процес повністю описується поліномом першого ступеня, тоді представляється можливість визначити помилку дослідів за формулою:

Помилка коефіцієнтів

Усі коефіцієнти, окрім третього фактора,більші помилки

Рівняння, яке описує результати дослідів:

Так як вологістьосаду потрібно мінімізувати, а не максималізувати, то при визначенні одиничного кроку зміни факторів знак коефіцієнта змінюємо на протилежний

приймаємо 1;

приймаємо 25;

приймаємо 0;

приймаємо 0,2;

приймаємо 5;

Проводимо досліди через один крок зміни фактору, дослід №9,10 подумки, дослід №11,12,13 реально. Відмінність результатів дослідів №11,12,13 неперевищує оцінку експерименту; це свідчить про те, що досягнута майже стаціонарна область. Умова досліду №13 є оптимальною для отримання низької вологості.

За результатами дослідів вихідної матриці можна визначити напрямок зміни факторів для отримання максимальної продуктивності фильтру. Коефіцієнти у цьому випадку будуть:

аналогічно для наступних факторів:

Відповідно одиничний крок зміни факторів:

Рівняння регресіі для продуктивності має вигляд:

Як видно из знаку коефіциєнтів рівняння регресії для , напрямок зміни факторів окрім та протилежен тому, що необхідний при мінімізації вологості.

Планування експериментів за фальтрацією(Завдання 2) Таблиця 5

Параметри планування	Вміст твердого у пульпі %,	Вакуум мм. рт. ст.	Час набору кека, хв	Час просушки кека, хв	Температура пульпи	Вологість %	Питома продуктиність
Основний рівень	55	450	1	2	30
Одиниця варіювання	5	500	0,5	0,5	10
Нижній рівень	50	400	0,5	1,5	20
Верхній рівень	60	500	1,5	2,5	40
Номера дослідів:1	-	-	-	-	-	14,5	0,9
2	-	-	+	+	+	12,5	0,5
3	-	+	-	+	+	11,0	0,5
4	-	+	+	-	-	12,5	0,8
5	+	-	-	+	-	12,5	0,7
6	+	-	+	-	+	12,5	0,8
7	+	+	-	-	+	12,0	1,3
8	+	+	+	+	-	12,0	0,8
Коефіцієнти	-0,19	-0,56	-0,062	-0,437	-0,437
Крок при К=1( )	1	25	0	0,2	5
Номера дослідів 9	56	475	1,0	2,0	35	подумки
10	57	500	1,0	2,2	40	подумки
11	58	525	1,0	2,4	45	10,1
12	59	550	1,0	2,6	50	9,6
13	60	575	1,0	2,8	55	9,5

Задача 3. Мета роботи – створити вісокопродуктивний магнітний сепараторю На дослідній моделі сепаратора вивчались: кут відхилення магнітної системи ( ), проміжок між барабаном та живильним лотком( ), сила току в обмотках електромагніту( ), величина хвостової щілини( ), швидкість обертання барабану( ), продуктивність сепаратора ( ).

У результаті проведених досліджень про вплив цих факторів (бильше 120 дослідів) були зроблені наступні висновки про їх оптимальне значення: , , , , , .

Проведемо ці дослідження методом планування експерименту для крутого сходження. Основні рівні, одиниці варіювання та матриця планування приведені в таблиці 6.

Згідно матриці планування було поставлено вісім дослідів,фактор прирівнян до взаємодії .

Очевидно, що висока продуктивність апарату повинна поєднуватися з аисокими технологічними показниками. Тому в якості критерію оптимальності було прийнято добуток витягу магнітної фаркції на продуктивність. Для того, щоб точність визначень обох величин була сумісна, із величини продуктивності брався коріньквадратний. Таким чином,максимізувалась величина

Після обробки результатів восьми дослідів отримали значення коефіцієнтів та крок зміни факторів. Перевірка умови сумісності результатів дослідів лінійної залежності не підтвердилась. Великий вплив на показники роботи сепаратора робить взаємодія положення магнітної системи та проміжок між барабаном та лотком: .Цей факт дослідниками не був вивчений.

Таким чином, можливість застосування методу крутого сходження для даного випадку сумнівна, тим не менш, якщо зробити один крок у напрямку передбачуваного оптимуму( дослід 9) по иншим факторамЮ отримаємо наступні їх значення:

Як бачимо, рекомендації, зроблені на основі 8 дослідів, по більшості факторів близькі до тих, які зроблені наоснові 120 дослідів, поставлених за класичною методикою. При цьому умови, спочатку спланованих дослідів, були далекі від оптимуму, п отримані за ними результати, погано відповідали застосуванню метода крутого сходження.

Прим. Результати дослідів в умовах факторного експерименту нами інтерпретувалися за результатами фактичних дослідів. Вплив якості очистки барабану, спосіб подачі пульпи таспосіб розвантаження хвостів нами не розглядалися

Подальше дослідження цієї задачі методами планування експериментов не можна було провести із за трудності інтерполяції наявних дослідів

Параметри плануван ня	Кут нахилу, град	Проміжок, мм	Сила току, А	Ширина щілини, мм	Швидкість обертання, об/хв	Продуктивність, т/год	Витяг		Функція відгуку
Основний рівень	10	50	6	50	15,4	15
Одиниця варіювання	5	10	1	10	2,7	5
Нижній рівень(-)	5	40	5	40	12,7	10
Верхній рівень(+)	15	60	7	60	18,1	20
Номер дослідів:1	-	-	-	-	-	-	67,0	3,17	212
2	+	+	-	-	+	-	69,7	3,17	921
3	+	-	+	-	-	+	81,0	4,46	365
4	-	+	+	-	+	+	80,0	4,46	355
5	+	-	-	+	+	+	69,0	4,46	310
6	-	+	-	+	-	+	66,0	4,46	295
7	-	-	+	+	+	-	85,0	3,17	270
8	+	+	+	+	-	-	81,2	3,17	259
Коефіцієнти	2,25	2,75	25,8	-1,75	2,5	2,5
Крок при К=1	11,3	-27,5	21	17,5	6,7	12,5
Дослід №9	21,3	22,5	32	32,5	21,7	27,5

Задача 4. Необхідно підібрати режим подрібнення марганцевої руди, яка забезпечує максимальну питому продуктивність млина й за класом -0,16 мм.

Досліджується об`єм шарового завантаженняу процентах від заповнення млина- , діаметр шарів , час подрібнення .Одночасно необхідно перевірити наявність взаємодій між вказаними факторами.

Матриця планування та результати досліджень представлені в таблиці 7. Для прийнятої матриці мається наступна система оцінок:

Помилка дослідів у визначенні продуктивності прийнята . Помилка у визначенні коефіцієнтів складає

Отриманні коефіцієнти взаємодій сумрні з помилкою, отже, взаємодій факторів немає. Дещо заниженим виявився коефіцієнт для величини шарового навантаження . Це обумовлюється , скориш за все, малою одиницею варіювання для цього фактора.

Один крок руху за градієнтом дозволяє збільшити питому продуктивність майже у півтора рази у порівнянні з отриманим на стадії планування ( та ), однак вміст готового класу різко знижується.( ). Цьому спільно з візначенням руху до оптимуму для визначемо умови для отримання максимального вмісту готового класу в зливі млина та мінімального імісту шламу .

Коефіцієнти регресії для готового класу ( ) склали :

Коефіцієнти регресії для шламів ( ) дорівнюють:

Помилка у визначенні вмісту класу та прийнята 1%, тоді помилка коефіцієнтів складає:

Для класу мм ефекти взаємодій назначні, вони сумірні с помилкою. Для класу внесок ефектів взаємодій за віключенням факторів обєму шарового навантаження та часу, досить суттєві. Коефіцієнт їх взаємодії більше помилки та сумірний з коефіцієнтами лінійних членів.

Весь процес подрібненняописується наступною системою рівнянь:

Вирішуя систему рівнянь з урахуванням максимізації продуктивності та обмеженням на крупність, можно знайти оптимальне рішення задачі з урахуванням усих цих факторів.

Пошук оптимальних рішень в задачах, аналогічних розглянутій, потребує спеціальних методів. Один за таких методів розробляється в інституті Мехаобрчормет та буде описан окремо. Вирішення таких задач потребує застосування ЕОМ.

Параметри планування									Вміст кл. -0,16,%	Питома продуктивність Млина	Вміст класу -0,02 мм,%
Основний рівень		30	40	15
Одиниця варіювання		5	10	5
Верхній рівень(+)		35	50	20
Нижній рівень(-)		25	30	10
Досліди:№1	+	-	-	+	+	-	-	+	81,6	0,32	31,0
№2	+	+	-	-	-	-	+	+	63,8	0,5	24,2
№3	+	-	+	-	-	+	-	+	41	0,32	17,7
№4	+	+	+	+	+	+	+	+	74,2	0,29	26,2
№5	+	-	-	-	+	+	+	-	60,2	0,47	18,2
№6	+	+	-	+	-	+	-	-	89,2	0,35	34,6
№7	+	-	+	+	-	-	+	-	65,7	0,26	24,5
№8	+	+	+	-	+	-	-	-	49,7	0,39	17,8
Коефіцієнти (для q)	0,36	0,021	-0,047	-0,058	+0,0063	-0,0045	+0,005	0,005
Крок при К=20		+2,1	-9,5	+5,8
Округлений крок		+2	-10	+5
Дослід №9 (уявний)		32	30	5
Дослід №10 (реальний)		34	20	5					44	0,69

Задача 5. Досліджувана схема збагачення, яка може мати наступні варіанти рішення:

1. Промпродукт може завертатися в голову процесу(рішення ) або направлятись на перечистку(рішення )

2. Млин в другій стадії подрібнення може працювати з центральним розвантаженням ( ) або з решіткою( ).

3. Дві батареї гідроциклонів можуть включатись послідовно( ) або паралельно( ).

Які варіанти схем кращі?

Методом планування експериментів можна коритсуватись і в тому випадку, коли фактори не змінюються безперервно,а приймають один з двох або більше станів, аналогічно приведеній задачі. Для оцінки ції станів вводиться ранжування, наприклад є +1,немає -1. Для ранжування результатів дослідів можуть використовуватися різні «психологічні» шкали, засновані на досвіді та інтуіції дослідника. За знаком коефіцієнта регресіївідповідного фактору можна судити, який із станів краще. При вірішенні задач з дискретним станом параметрів потрібно «побоюватись» впливу взаємодій. Може виявитися, що вплив взаємодій більше впливу окремих факторів і за знаком протилежний їм. Це призведе то невірних висновків про оцінку кращого стану, якщо оцінку робити тільки за факторними коефіцієнтами. Якщо очікується взаємодія факторів, потрібно його визначити і для вибору кращого вирішення аналізувати рівняння.

Позначимо у розглянутій нижче задачі подію відповідно

.

За характером задачі взаємодією факторів можна знехтувати. Матриця планування експериментів приведена в табл 8. Результати дослідів оцінюються за п`ятибальною системою, Помилкою досліду знехтувати.

Матриця планування задачі №5 Таблиця 8

Номер дослідів	Варіанти рішень			Результат
	A	B	C
1				3
2				2
3				5
4				4

Отримані коефіцієнти регресії дозволяють зробити висновки:

1. Промпродукткраще направляти на перечистку , отже подія краще

2. В другій стадії краще використати млин з центральним розвантаженням (рішення , так як )

3. Порядок роботи гідроциклонів не впливає на показники роботи схеми

Задача 6. На родовищі є сім типів руд. За кожним типом відібрана проба для дослідження. Необхідно визначити вплив складу шихти руди, складеної з цих типів, на технологічні показники збагачення – якості концентрату , виходу та вмісту металу в хвостах . Шихта визначаєтьсявідносним вмістом руди кожного типу. Позначимо процент вмісту тиу в суміші .

Вочевидь, в силу балансу

Скласти матрицю планування ,відповідаючу умовам ортогональності та балансу, неможливо. Однак цю трудність можно обійти, якщо планування вести за шістьма пробами. Ясно, що вміст сьомої проби автоматично визначається вмістом перших шести:

Якщо задано проб, то планування необхидно проводити по пробі, в цьому випадку знимається умова балансу.

Рівні вмісту в шихті планованих проб берутсья такими, щоб сума їх за будь-яких умов не перевищувала 100. При цьому не має прицнипового значення, яка проба « залишитсья за бортом», За цією пробою не буде визначений тільки коефіцієнт регресії, що зашкодить аналізу її впливу. Тому треба залишати той тип руд, характер впливу якої ясний або менш істотний.

Приймаємо нижні рівні варіювання для усіх проб: нижній рівень

верхній рівень -

Звідси основний рівень буде і одиниця варіювання

Матриця планування та результати дослідів приведені в таблиці 9. Взаємодією типів руд між собою знехтуємо. На основі дослідів розраховуємо коефіцієнти регресії за кожним показником та складаємо рівняння:

Для того, щоб збільшити якість концентрату вміст 1,5 та 6 типів руди треба зменьшувати,а вміст інших збільшувати. Для підвищення виходу концентрату залежність за віключенням третього типу протилежна. Збільшення вмісту 1 2 3 та 4 типів різноманітностей знижує втрати у хвостах, а 5 та 6 збульшують.

Маючи математичні рівняння, можна розрахувати необхідну шихту для отримання заданих технологічних показників при існуючих обмеженнях за кількістю кодного типу.

Подібні задачі вирішуються так званим методом лінійного програмування, Вирішення задачі потребує участь математиков та ЕОМ.

Матриця та результати планування дослідів за вибором шихти(задача 6) Таблиця 9

Параметри планування
Основний рівень	15	15	15	15	15	15	15
Одиниця варіювання	5	5	5	5	5	5	5
Верхній рівень	20	20	20	20	20	20	20
Нижній рівень	10	10	10	10	10	10	10
Номера дослідів:1	+	-	-	-	-	-	-	63,5	41,8	13,0
2	+	+	+	-	-	+	+	62	43,2	12,3
3	+	+	-	+	-	+	-	61,7	42,5	12,6
4	+	-	+	+	-	-	+	62,8	41,3	12,2
5	+	+	-	-	+	-	+	64	41,3	11,7
6	+	-	+	-	+	+	-	64	41,7	11,6
7	+	-	-	+	+	+	+	66,2	38,5	12,2
8	+	+	+	+	+	-	-	61,3	43,4	10,5
Коефіцієнти регресіі за: якістю концентрату	63,3	-1,0	-0,63	-0,25	+0,75	+0,33	+0,5
Виходу	41,7	+0,88	+0,7	-0,3	-0,5	-0,25	-0,63
Вмісту у хвостах	12	-0,25	-0,38	-0,3	-0,5	+0,15	+0,1

Розділ 5.

Еволюційне планування.