1. Из произвольной точки a в произвольном масштабе проведем отрезок ab который изобразит вектор g – вес груза (рис. 36, б).
Так как стержень АВ должен занимать положение под углом 45° к вертикальной стенке, то усилие S в этом стержне будет направлено под углом 45° к направлению G. Проведем из точек aи b вектора G параллельные прямые под углом α=45° к линии действия вектора G (линии I-I и II-II).
Если теперь из точки a отложить вектор, численно равный усилию N=4,5 кн, максимально допустимому в тросе ВС (см. рис. 36, а), то увидим, что этот отрезок пересечет линию II—II в двух точках – в точках c и d. Проделав ту же операцию из точки b, получим два параллелограмма: первый acbe и второй adbf.
Это значит, что задача допускает бесчисленное множество решений*. При одном и том же направлении усилия S в стержне АВ трос может быть направлен к стержню под углом β, но не менее β1 и не более β2, (β1≤β≤β2).
* В предельном случае, если уменьшим заданное допускаемое усилие в тросе, задача может иметь одно решение (дуга cd, проведенная из a, касается линии II-II). При дальнейшем уменьшении допускаемого усилия в тросе задача практически неосуществима.
Условие задачи Определить равнодействующую четырех сил: P1=18 кГ, P2=10 кГ, P3=6 кГ и P4=8 кГ, приложенных к одной точке A и направленных, как показано на рис. 42.
<< задача 27 || задача 34 >> |
Решение методом проекций
1. Изображаем на рисунке четыре данные силы и выбираем расположение осей проекций. В данном случае удобно начало осей поместить в точке A, а оси совместить с силами P1 и P3 (рис. 42, а).
2. Находим проекции данных сил на ось х: X1 = -P1 = -18; X2 = -P2 cos 60° = -10 cos 60° = -5; X3 = 0; X4 = P4 cos 45° = 8 cos 45° = 5,67.
3. Находим проекции данных сил на ось у: Y1 = 0; Y2 = P2 sin 60° = 10 sin 60° = 8,65; Y3 = P3 = 6; Y4 = P4 sin 45° = 8 sin 45° = 5,67.
Если трудно определить знак и числовое значение проекции, то необходимо помнить (§ 4), что проектируемую силу и две проекции на взаимно перпендикулярные оси всегда можно представить в виде прямоугольного треугольника. В тех случаях, когда еще нет достаточных навыков, силы и ее проекции можно изобразить отдельно, как показано на рис. 42, б для силы P2 и на рис. 42, в для силы P4. Эти рисунки облегчают правильное определение проекций.
Для сил P1 и P3 такие рисунки не нужны, так как сила P1 лежит на оси х и, следовательно, проектируется на эту ось в натуральную величину, но зато на ось у проекция этой силы равна нулю. Сила P3 проектируется в натуральную величину на ось у, а ее проекция на ось х равна нулю.
4. Находим проекции искомой равнодействующей R на оси х и у: XR = -18 - 5 + 5,67 = -17,3; YR = 8,65 + 6 + 5,67 = 20,3.
Проекция на ось х получается отрицательной, а на ось у положительной. Значит вектор R, заменяющий действие четырех данных сил и приложенный к точке A, должен быть направлен относительно оси у вверх, а относительно оси х – влево. Положение равнодействующей R показано отдельно на рис. 42, г.
5. Находим модуль равнодействующей (т. е. заканчиваем решение задачи первым путем, см. п. 7 в § 4): R = sqrt(XR2 + YR2) = sqrt(17,32 + 20,32) = 26,7 кГ.
6. Находим угол φ, определяющий направление R относительно оси у (см. рис. 42, а): tg φ = |XR| / YR = 17,3 / 20,3 = 0,835 и, следовательно, φ ≈ 40°30'.
Для определения угла φ использован ΔABC (см. рис. 42, г), в котором ∠BAC=φ. Поэтому XR не имеет значения и в выражение tg φ подставлена его абсолютная величина.
Угол φ можно найти при помощи синуса: sin φ = |XR| / R = 17,3 / 26,7 = 0,647 и φ ≈ 40°30'.
Для определения угла φ можно воспользоваться и косинусом, но при работе с логарифмической счетной линейкой эта функция менее удобна.
Таким образом, равнодействующая четырех заданных сил равна 26,7 кГ и направлена под углом 40°30' к положительному направлению оси у и под углом 90°+40°30'=130°30' к положительному направлению оси х.
Условие задачи К концу В веревки АВ прикреплено кольцо, на которое действуют четыре силы: P1=40 н, P2=25 н, P3=25 н и P4=20 н, направленные, как показано на рис. 43, а (сила P2 горизонтальна). Определить усилие, возникшее в веревке, и ее направление относительно горизонтали.
<< задача 33 || задача 35 >> |
