15. Комплексные числа и действия над ними. Геометрическая интерпретация комплексного числа. Модуль и аргумент комплексного числа.

Комплексным числом называется число z=x + iy , где x -называется действительной частью комплексного числа и обозначается x=ReZ; y называется мнимой частью комплексного числа и обозначается y=ImZ . Такая запись комплексного числа называется алгебраической формой комплексного числа. Сложение комплексных чисел

Суммой двух комплексных чисел z₁=х₁+iy₁ и z₂=х₂+iy₂ называется комплексное число, определяемое равенством

z₁+z₂=(x1+x2)+i(y1+y2).Сложение комплексных чисел обладает переместительным (коммутативным) и сочетательным (ассоциативным) свойствами: z1+z2=z2+z1 ; (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). Произведением комплексных чисел z1 = x + yi и z2 = c + di называется комплексное число (xc - yd)+(xd + yc)i. Определение произведения устанавливается с таким расчетом, чтобы (x + yi) и (c + di) можно было перемножить как алгебраические двучлены, считая при этом, что i*i = -1. Произведение комплексных чисел обладает свойствами:  коммутативности: z1 * z2 = z2 * z1 ; ассоциативности: (z1 * z2) * z3 = z1 * (z2 * z3); дистрибутивности: z1 * (z2 + z3) = z1 * z2 + z1 * z3. Разностью комплексных чисел z1 = x + yi и z2 = c + di называется комп­лек­сное число z = z1 - z2 = (x - c) + (y - d)i. Частное определяется просто как обратная операция к умножению. (x+yi)/(d + ci) =  .

У комплексных чисел есть удобное и наглядное геометрическое представление: число z = x + yi можно изображать вектором с координатами (x; y) на декартовой плоскости. При этом сумма двух комплексных чисел изображается как сумма соответствующих векторов (которую можно найти по правилу параллелограмма). По теореме Пифагора длина вектора с координатами (a; b) равна  . Эта величина называется модулем комплексного числа z = x + yi и обозначается |z|. Угол, который этот вектор образует с положительным направлением оси абсцисс (отсчитанный против часовой стрелки), называется аргументом комплексного числа z и обозначается Arg z. Аргумент определен не однозначно, а лишь с точностью до прибавления величины, кратной 2π радиан.

16. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная форма записи комплексного числа. Формула Эйлера. Формула Муавра. Корни n-ой степени из комплексных чисел.

z=x + iy – алгебраическая форма комплексного числа. В тригонометрической форме . Полярная координата  r  представляет собой абсолютную величину комплексного числа  z  (синоним – модуль комплексного числа  z. . В показательной форме . ; .

Формула Муавра. формула, содержащая правило для возведения в степень n комплексного числа, представленного в тригонометрической форме z = ρ (cos φ + i sin φ);  согласно М. ф., модуль ρ комплексного числа возводится в эту степень, а аргумент φ умножается на показатель степени. zn = [ρ (cos φ + i sin φ)] n = ρn (cos nφ + i sin nφ); современная её запись может быть легко использована для выражения cos nφ и sin nφ через степени cos φ и sin φ; положив в М. ф. ρ = 1 и приравнивая отдельно действительные и мнимые части, получим cos nφ = cosn φ - Cn2 cosn-2 φ sin2 φ + Cn4 cosn-4 φ sin4 φ -..., sin nφ = Cn1 cosn-1 φ sin φ - Cn3 cosn-3 φ sin3 φ +..., где Cnm = n!/m!(n - m)! — биномиальные коэффициенты. Корни. Корнем n-й степени из комплексного числа называется такое комплексное число, n-я степень которого равна подкоренному числу. Для извлечения корня из комплексного числа надо извлечь корень из его модуля, а аргумент разделить на показатель корня.