7. Системы линейных уравнений.

Система линейных уравнений — это объединение из n линейных уравнений, каждое из которых содержит k переменных. В матричном виде система линейных уравнений представляется в виде столбца коэффициентов при неизвестных A, самого столбца неизвестных X и столбца свободных членов B.

8. Методы решения системы n уравнений с n неизвестными: матричный, метод Крамера.

Решение системы уравнений – это такой набор значений неизвестных, который удовлетворяет всем уравнениям системы. Система уравнений называется совместной, если она имеет решение и несовместной, если решений нет. Совместная система уравнений называется определенной, если решение единственное и неопределенной, если решений множество. Матричный способ решения. Столбец неизвестных получим , если столбец свободных членов умножим на матрицу обратную главной. Метод Крамера. Если главный определитель системы уравнений отличен от нуля, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам Крамера , – побочный определитель, получаемый из главного заменой j столбца на столбец свободных членов. Если главный определитель равен нулю: если все побочные определители равны нулю, то система будет неопределенной – множество решений; если существует отличный от нуля, тогда система будет совместна.

9. Метод Гаусса.

Суть метода состоит в том, чтобы путем применения элементарных преобразований главную матрицу системы привести к верхней правой треугольной относительно главной диагонали, причём на главной диагонали должны быть единицы.

10. Исследование системы линейных уравнений общего вида. Теорема Кромекера-Капелли.

Теорема о базисном миноре. Базисным называют минор порядка равного рангу матрицы отличной от нуля. Строчки(столбцы) образующие базисный минор и называемые базисными линейно зависимы. Любая строка(столбец) может быть выражена линейной комбинацией базисных. Теорема Кромекера-Капелли. Для того, чтобы система уравнений была совместна Н. И Д., чтобы ранг основной матрицы был равен рангу расширенной матрицы.

Схема исследования: 1-Rang главной матрицы = Rang расширенной матрицы => система совместна; 2-Сравнить число неизвестных и Rang. Если R=r, то система имеет единственное решение. Если они равны, то система имеет единственное решение. Если число неизвестных больше чем ранг, то система имеет бесчисленное кол-во решений и система неопределенная; 3-Выбрать базисный минор. Неизвестные коэффициенты, при которых входят в базисный минор, назовём базисными неизвестными. Именно они подлежат определению, все остальные назовём свободными неизвестными; 4-Переписать систему уравнений относительно базисных неизвестных. Т. е. Оставить их в первых частя уравнения, свободные неизвестные со своими коэффициентами перенести в правые части уравнения, уравнения, коэффициенты которых не входят в базисный минор – отбросить. Новых решений они не дадут.

11. Однородная система уравнений, нетривиальная совместность однородной системы.

Линейное уравнение называется однородным, если его свободный член равен нулю, и неоднородным в противном случае. Система, состоящая из однородных уравнений, называется однородной. Однородная система уравнений всегда совместна. Ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы, которая отличается наличием столбца свободных членов(нулевого столбца). Для того, чтобы система была нетривиального совместна необходимо и достаточно, чтобы её ранг был меньше числа неизвестных. Если матрица квадратная, то Н. и Д., чтобы её определитель был равен нулю.