Функциональные ряды
1. Определить интервал сходимости ряда
Решение. Применим для данного степенного ряда признак Даламбера:
.
Следовательно, ряд сходится при
,
так как предел не зависит от х. ►
.2. Определить интервал сходимости
ряда
Решение. Применим для данного степенного ряда признак Даламбера:
Таким образом, по формуле (125) радиус
сходимости
этого
ряда равен нулю, поэтому ряд расходится
при всех х, кроме х = 0. ►
Пример 7.2.3. Найти область
сходимости степенного ряда
.
Решение. Вычислим радиус сходимости ряда по формуле (125):
.
Таким образом, область сходимости
данного степенного ряда
.
►
4. Определить область сходимости
ряда
.
Решение. Так как для данного
степенного ряда имеем
,
,
то, применяя формулу для определения
радиуса сходимости (125), получим:
.
Поскольку
,
то степенной ряд сходится в интервале
(–1; 1). Чтобы решить вопрос о сходимости
на концах интервала, исследуем на
сходимость соответствующие числовые
ряды. Полагая сначала
,
получаем
–
гармонический ряд, который расходится.
При
получаем
ряд
,
который сходится по теореме Лейбница.
Таким образом, область сходимости степенного ряда есть полуинтервал [–1; 1). ►