9. Определить сходимость числового ряда .
Решение. Применяя признак
сходимости Даламбера к гармоническому
ряду, получаем
.
Признак Даламбера в данном случае не
дает ответа на вопрос о сходимости, но
в примере 7.1.3 была установлена расходимость
данного числового ряда. ►
10. Исследовать сходимость ряда
.
Решение. Воспользуемся признаком сходимости Даламбера. Определим формулу общего члена числового ряда и составим предел отношения
,
,
.
На основании признака Даламбера
сходимость установить нельзя. Однако,
так как
,
то можно преобразовать данный ряд
Вычисляя частичные суммы
и
предел, получаем
.
Таким образом, исходный ряд сходится. ►
Теорема (Признак Коши). Если для
ряда с положительными членами (97) величина
имеет
конечный предел
при
,
т.е.
,
то 1) при < 1 – ряд сходится;
 2) при > 1 – ряд расходится.
Замечание. Как и в признаке
Даламбера, случай
,
требует дополнительного исследования.
Среди рядов, удовлетворяющих этому
условию, могут встретиться как сходящиеся,
так и расходящиеся. Так для гармонического
ряда имеем:
,
но он расходится. Рассмотрим другой
числовой ряд
.
Для него так же имеет место равенство
,
но он сходится по первому признаку
сходимости. Заметим, что если отбросить
первый член, то члены оставшегося ряда
будут меньше соответствующих членов
ряда
,
который сходится (см. пример 7.1.10).
11. Исследовать сходимость ряда
Решение. Воспользуемся признаком
сходимости Коши. Определим формулу
общего члена числового ряда и вычислим
предел
.
Так как предел конечен и меньше единицы, то по признаку Коши исходный числовой ряд сходится. ►
Приведем без доказательства признак сходимости числовых рядов с положительными членами, который удобно использовать, когда признаки Даламбера и Коши не дают ответа на вопрос о сходимости ряда.
Теорема (Интегральный признак
сходимости).Пусть дан ряд
,
члены которого положительны и не
возрастают, т.е.
,
а функция
,
определена при
,
непрерывная и не возрастающая и
.
Тогда для сходимости ряда
необходимо
и достаточно, чтобы сходился несобственный
интеграл
.
12. Исследовать сходимость
обобщенного гармонического ряда
.
Решение. Пусть
.
Функция
при
(а
значит и при
)
положительна и невозрастающая (точнее
убывающая). Поэтому сходимость ряда
равносильна сходимости несобственного
интеграла
.
Имеем
.
Если
,
то
.
Если
,
то
Итак, данный обобщенный гармонический
ряд сходится при
и
расходится при
.
►
Знакочередующимся рядом называется ряд
,
(113)
где
,
– положительные числа.
Теорема (Признак Лейбница). Если в знакочередующемся ряде (113) члены таковы, что
(114)
и
(115)
то ряд (113) сходится, его сумма положительна и не превосходит первого члена.
Замечание. Теорема Лейбница справедлива, если неравенства (114) выполняются, начиная с некоторого номера N.
Теорема Лейбница иллюстрируется геометрически следующим образом. На числовой прямой будем откладывать (рис. 21)частичные суммы:
,
,
,
,
…
Рис. 21. Геометрический смысл теоремы Лейбница
Тогда точки, соответствующие частичным суммам будут приближаться к некоторой точке S. При этом точки, соответствующие чётным суммам располагаются слева от S, а нечетным суммам – справа от S.
13. Исследовать сходимость ряда
.
Решение. Поскольку данный ряд является знакочередующимся, воспользуемся признаком сходимости Лейбница. Определим формулу общего члена числового ряда и проверим условия теоремы. Имеем:
1)
1 >
>
;
2)
.
Так как оба условия выполнены, то исходный ряд сходится по признаку Лейбница. ►
14. Исследовать сходимость ряда
Решение. Поскольку данный ряд является знакочередующимся, воспользуемся признаком Лейбница. Определим формулу общего члена числового ряда и проверим условия теоремы. Имеем:
3) 1 > > ;
4)
.
Так как оба условия выполнены, то исходный ряд сходится по признаку Лейбница. ►
Ряд называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные так и отрицательные.
Знакочередующиеся ряды являются частным случаем знакопеременных рядов.
Теорема. Если знакопеременный ряд
(116)
таков, что ряд, составленный из абсолютных величин его членов
(117)
сходится, то, и данный знакопеременный ряд также сходится.
15. Исследовать сходимость ряда
(118)
где – любое число.
Решение. Наряду с данным рядом, рассмотрим два следующих ряда:
,
(119)
(120)
Ряд (120) сходится (см. замечание к теореме Коши). Так как члены ряда (119) не больше соответствующих членов ряда (120), т.е.
,
то по первому признаку сравнения ряд (119) сходится. Следовательно, по теореме ряд (118) так же сходится. ►
Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов.
Если знакопеременный ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится, то данный знакопеременный ряд называется условно сходящимся.
16. Исследовать сходимость ряда
.
Решение. Данный знакопеременный
ряд является условно сходящимся, так
как ряд, составленный из абсолютных
величин его членов, есть гармонический
ряд
,
который расходится. Сам же ряд сходится
(см. пример 7.1.13) по признаку Лейбница. ►
17. Исследовать сходимость ряда
.
Решение. Данный знакопеременный ряд абсолютно сходящийся, так как ряд, составленный из абсолютных величин его членов
сходится (см. пример 7.1.6). ►
Теорема. (Погрешности при вычислении сумм сходящегося знакопеременного ряда). Если ряд сходится абсолютно, то он остается абсолютно сходящимся при любой перестановке его членов. При этом сумма ряда не зависит от порядка его членов.
Теорема. Если ряд сходится условно, то какое бы мы не задали число А, можно так переставить его члены, чтобы его сумма оказалась в точности равной А. Более того, можно так переставить члены условно сходящегося ряда, чтобы ряд, полученный после перестановки, оказался расходящимся.
18. Исследовать сходимость ряда
(121)
Решение. Докажем, что данный
знакопеременный ряд сходится не
абсолютно. Обозначим его сумму через
.
Очевидно, что
>0.
Сделаем перестановку членов этого ряда
следующим образом:
.
(122)
Покажем, что полученный ряд сходится,
но его сумма
в
два раза меньше суммы ряда (121), т.е. равна
.
Обозначим через
и
частичные
суммы рядов (121) и (122). Рассмотрим сумму
3k членов ряда
(122):
.
Вычислим предел суммы
,
учитывая, что сумма ряда (121) равна
:
.
Заметим, что
,
.
Таким образом,
т.е.
в данном случае сумма ряда (122) изменилась
после перестановки его членов (уменьшилась
в 2 раза). ►